代数幾何学 · 2026-09-19

On the hyperbolicity of base spaces for maximally variational families of smooth projective varieties

最大変動族の底空間の双曲性

Ya Deng, with an appendix by Dan Abramovich

ya-deng-17poip with-an-appendix-by-dan-abramovich-1kj4v03 hyperbolicity moduli higgs-nonabelian-hodge Moduli and families モジュライ・族 Higgs bundles and nonabelian Hodge theory ヒッグス束・非可換ホッジ理論 Hyperbolicity 双曲性

arXiv Abstract

For smooth families with maximal variation, whose general fibers have semi-ample canonical bundle, the generalized Viehweg hyperbolicity conjecture states that the base spaces of such families are of log general type. This deep conjecture was recently proved by Popa-Schnell using the theory of Hodge modules and a theorem by Campana-Păun. In this paper we prove that those base spaces are pseudo Kobayashi hyperbolic, as predicted by the Lang conjecture: any complex quasi-projective manifold is pseudo Kobayashi hyperbolic if it is of log general type. As a consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of polarized manifolds with semi-ample canonical bundle. This proves a conjecture by Viehweg-Zuo in 2003. We also prove the Kobayashi hyperbolicity of base spaces of effectively parametrized families of minimal projective manifolds of general type. This generalizes previous work by To-Yeung, in which they further assumed that these families are canonically polarized.

日本語要約

半豊富な標準束をもつ射影多様体の滑らかな最大変動族を考える。底空間には退化しうる負曲率Finsler計量が構成され、底が擬Kobayashi双曲的であることが導かれる。その帰結として、対応する偏極モジュライ空間のBrody双曲性が得られる。一般型最小多様体の有効パラメータ族に対しては、底空間そのものがKobayashi双曲的である。

For smooth families with maximal variation, whose general fibers have semi-ample canonical bundle, the generalized Viehweg hyperbolicity conjecture states that the base spaces of such families are of log general type. This deep conjecture was recently proved by Popa-Schnell using the theory of Hodge modules and a theorem by Campana-Păun. In this paper we prove that those base spaces are pseudo Kobayashi hyperbolic, as predicted by the Lang conjecture: any complex quasi-projective manifold is pseudo Kobayashi hyperbolic if it is of log general type. As a consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of polarized manifolds with semi-ample canonical bundle. This proves a conjecture by Viehweg-Zuo in 2003. We also prove the Kobayashi hyperbolicity of base spaces of effectively parametrized families of minimal projective manifolds of general type. This generalizes previous work by To-Yeung, in which they further assumed that these families are canonically polarized.

半豊富な標準束をもつ滑らかな射影多様体の最大変動族について、底空間が擬Kobayashi双曲的であることを示す。これにより対応する偏極多様体のモジュライ空間のBrody双曲性を導き、一般型最小多様体の有効パラメータ族では底のKobayashi双曲性まで得る。

arXiv
1806.01666v6
初回投稿日
2018-06-05
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

半豊富な標準束をもつ射影多様体の滑らかな最大変動族を考える。底空間には退化しうる負曲率Finsler計量が構成され、底が擬Kobayashi双曲的であることが導かれる。その帰結として、対応する偏極モジュライ空間のBrody双曲性が得られる。一般型最小多様体の有効パラメータ族に対しては、底空間そのものがKobayashi双曲的である。

背景と問題設定

Viehweg双曲性予想は、半豊富な標準束をもつ多様体の最大変動族の底が対数一般型であると予言し、先行研究で証明された。本論文はLang予想が示唆する解析的な強化、すなわち底のKobayashi双曲性を問う。

擬Kobayashi双曲性とは、ある真のZariski閉集合の外でKobayashi擬距離が異なる点を分離する性質である。

主結果

Theorem A（モジュライ空間のBrody双曲性）

半豊富な標準束をもつ偏極多様体のモジュライ写像が像の上で準有限となる滑らかな族の底 $V$ はBrody双曲的である。

Theorem B（最大変動族の底）

連結ファイバーをもつ滑らかな射影射 $f_U:U\to V$ の一般ファイバーの標準束が半豊富で、族が最大変動なら、$V$ は擬Kobayashi双曲的である。

Theorem C（一般型の場合）

一般型最小射影多様体の有効パラメータ族では、底はKobayashi双曲的である。

証明の見取り図

Viehweg–Zuo型Higgs束を構成し、その反復Higgs写像から底の対数接束上のFinsler計量を作る。Hodge束のGriffiths曲率公式により、この計量は適切な意味で負曲率をもつ。Ahlfors–Schwarz型評価が整曲線を排除し、一般型の場合には直像の正値性と動く超曲面を加えて退化集合も除く。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1806.01666
  • Introduction: PDF冒頭のIntroduction
  • Introduction中で言及された主要定理番号: 上記各小節に記載
  • 確認したarXivバージョン: 1806.01666v6
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction