代数幾何学 · 2026-09-19

Fundamental group and pluridifferentials on compact Kähler manifolds

コンパクトKähler多様体の基本群と多重微分形式

Yohan Brunebarbe, Frédéric Campana

yohan-brunebarbe-l5cje6 frederic-campana-6eht9e fundamental-groups l2-methods L² methods L²法 Fundamental groups 基本群

arXiv Abstract

A compact Kähler manifold is shown to be simply-connected if its `symmetric cotangent algebra' is trivial. Conjecturally, such a manifold should even be rationally connected. The relative version is also shown: a proper surjective connected holomorphic map between connected complex manifolds induces an isomorphism of fundamental groups if its smooth fibres are as above, and if the domain is Kähler.

日本語要約

対称余接代数の自明性から単連結性を導く。基本群が無限なら、普遍被覆上の $L^2$ 正則形式とPoincaré型構成によって、ある $S^k\Omega_X^p$ の非零大域切断が生じる。有限基本群はEuler標数の被覆に対する乗法性で排除される。相対版では、ファイバー方向の対称微分形式が消える固有連結射が基本群の同型を誘導する。

A compact Kähler manifold is shown to be simply-connected if its `symmetric cotangent algebra' is trivial. Conjecturally, such a manifold should even be rationally connected. The relative version is also shown: a proper surjective connected holomorphic map between connected complex manifolds induces an isomorphism of fundamental groups if its smooth fibres are as above, and if the domain is Kähler.

コンパクトKähler多様体で、すべての正次数微分形式の全対称冪に大域切断がなければ基本群が自明であることを示す。普遍被覆上の $L^2$ Hodge理論から対称微分形式を構成し、相対版として適切なファイバーをもつ固有射が基本群同型を誘導することも証明する。

arXiv
1510.07922v2
初回投稿日
2015-10-27
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

対称余接代数の自明性から単連結性を導く。基本群が無限なら、普遍被覆上の $L^2$ 正則形式とPoincaré型構成によって、ある $S^k\Omega_X^p$ の非零大域切断が生じる。有限基本群はEuler標数の被覆に対する乗法性で排除される。相対版では、ファイバー方向の対称微分形式が消える固有連結射が基本群の同型を誘導する。

背景と問題設定

有理連結な滑らかな射影多様体には対称微分形式がなく、基本群も自明である。本論文は有理曲線を直接構成せず、「対称余接代数が自明」という解析しやすい条件だけから単連結性を導く。

主結果

Theorem 1.1（単連結性）

連結コンパクトKähler多様体 $X$ が、すべての $p\geq1$, $k\geq1$ に対して

$$ H^0(X,S^k\Omega_X^p)=0 $$

を満たすなら、$X$ は単連結である。

Corollary 1（相対版）

連結複素多様体間の連結ファイバーをもつ固有正則写像 $f:X\to S$ で、$X$ がKählerかつ $f_(S^k\Omega_{X/S}^p)=0$ が全ての $p,k\geq1$ について成り立つなら、$f_:\pi_1(X)\to\pi_1(S)$ は同型である。

証明の見取り図

基本群が無限なら普遍被覆上でAtiyahの $L^2$ 指数定理を用い、非零 $L^2$ 正則 $p$ 形式を得る。Poincaréの積構成を射影束上で行い、ある対称冪の基本群不変切断を作って $X$ へ降ろす。基本群が有限の場合は有限エタール被覆で構造層Euler標数が次数倍になる一方、仮定から両側が1となるため次数が1である。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1510.07922
  • Introduction: PDF冒頭のIntroduction
  • Introduction中で言及された主要定理番号: 上記各小節に記載
  • 確認したarXivバージョン: 1510.07922v2
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction