代数幾何学 · 2026-09-18

Hodge-Riemann bilinear relations for Schur classes of ample vector bundles

豊富なベクトル束のSchur類に対するHodge--Riemann関係

Julius Ross, Matei Toma

julius-ross-jii0nw matei-toma-2guzuy positivity vector-bundles-sheaves chern-classes hodge-theory Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Hodge theory ホッジ理論 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

Let $X$ be a $d$ dimensional projective manifold, $E$ be an ample vector bundle on $X$ and $0\le λ_N\le λ_{N-1} \le \cdots \le λ_1 \le \operatorname{rank}(E)$ be a partition of $d-2$. We prove that the Schur class $s_λ(E)\in H^{d-2,d-2}(X)$ has the Hard Lefschetz property and satisfies the Hodge-Riemann bilinear relations. As a consequence we obtain various new inequalities between characteristic classes of ample vector bundles, including a higher-rank version of the Khovanskii-Teissier inequalities.

日本語要約

射影多様体上の豊富なベクトル束について、次数 $d-2$ のSchur類がHard Lefschetz性とHodge--Riemann双線型関係を満たすことを示す。その帰結としてChern類間の新しい不等式を得る。

Let $X$ be a $d$ dimensional projective manifold, $E$ be an ample vector bundle on $X$ and $0\le λ_N\le λ_{N-1} \le \cdots \le λ_1 \le \operatorname{rank}(E)$ be a partition of $d-2$. We prove that the Schur class $s_λ(E)\in H^{d-2,d-2}(X)$ has the Hard Lefschetz property and satisfies the Hodge-Riemann bilinear relations. As a consequence we obtain various new inequalities between characteristic classes of ample vector bundles, including a higher-rank version of the Khovanskii-Teissier inequalities.

豊富なベクトル束の次数 $d-2$ のSchur類がHard Lefschetz性とHodge--Riemann双線型関係を満たすことを証明する。これにより高階数版Khovanskii--Teissier不等式を含む特性類不等式が得られる。

arXiv
1905.13636v3
初回投稿日
2019-05-31
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

豊富な直線束の第一Chern類の冪に対するHard Lefschetz定理とHodge--Riemann関係を、豊富な高階数ベクトル束のSchur類へ拡張する。Schur類はChern類の非線形結合であり、従来の線型なKähler類の積とは異なる難しさをもつ。

$d$ 次元射影多様体と豊富な束 $E$ に対し、$d-2$ 次のSchur類が中間次数のコホモロジーにHard Lefschetz同型を与え、対応する原始部分でHodge--Riemann符号条件を満たす。

この構造から、特性類のHodge index型不等式と高階数Khovanskii--Teissier不等式を導く。

背景と問題設定

分割 $\lambda$ に付随するSchur類 $s_\lambda(E)$ を、単なる正の交点数ではなくLefschetz作用素として調べる。対象範囲は $|\lambda|=d-2$ である。

主結果

Schur類のHodge--Riemann関係（Theorem 1.1）

$X$ を $d$ 次元射影多様体、$E$ を階数 $e$ の豊富なベクトル束とし、$0\leq\lambda_N\leq\cdots\leq\lambda_1\leq e$ を $d-2$ の分割とする。このとき

$$ s_\lambda(E)\in H^{d-2,d-2}(X) $$

はHard Lefschetz性をもち、Hodge--Riemann双線型関係を満たす。

証明の見取り図

Schur類をGrassmann束上の豊富なクラスのpush-forwardとして表し、古典的Hodge--Riemann関係を移す。Introductionはこの表示とHodge index型議論が特性類不等式を生むと説明する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1905.13636
  • Introduction: Section 1
  • 確認したarXivバージョン: v3
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction