代数幾何学 · 2026-09-18

Failure of the Brauer-Manin principle for a simply connected fourfold over a global function field, via orbifold Mordell

単連結四次元多様体のBrauer--Manin原理の破れとorbifold Mordell

Stefan Kebekus, Jorge Vitório Pereira, Arne Smeets

stefan-kebekus-17mfmyc jorge-vitorio-pereira-zd44ze arne-smeets-1f2slru positive-characteristic fundamental-groups fano-varieties Positive characteristic 正標数 Fano varieties ファノ多様体 Fundamental groups 基本群

arXiv Abstract

Almost one decade ago, Poonen constructed the first examples of algebraic varieties over global fields for which Skorobogatov's etale Brauer-Manin obstruction does not explain the failure of the Hasse principle. By now, several constructions are known, but they all share common geometric features such as large fundamental groups. In this paper, we construct simply connected fourfolds over global fields of positive characteristic for which the Brauer-Manin machinery fails. Contrary to earlier work in this direction, our construction does not rely on major conjectures. Instead, we establish a new diophantine result of independent interest: a Mordell-type theorem for Campana's "geometric orbifolds" over function fields of positive characteristic. Along the way, we also construct the first example of simply connected surface of general type over a global field with a non-empty, but non-Zariski dense set of rational points.

日本語要約

正標数の大域関数体上で、Brauer--Manin機構ではHasse原理の破れを説明できない単連結四次元多様体を構成する。そのためにCampanaの幾何orbifoldに対するMordell型定理を確立する。

Almost one decade ago, Poonen constructed the first examples of algebraic varieties over global fields for which Skorobogatov's etale Brauer-Manin obstruction does not explain the failure of the Hasse principle. By now, several constructions are known, but they all share common geometric features such as large fundamental groups. In this paper, we construct simply connected fourfolds over global fields of positive characteristic for which the Brauer-Manin machinery fails. Contrary to earlier work in this direction, our construction does not rely on major conjectures. Instead, we establish a new diophantine result of independent interest: a Mordell-type theorem for Campana's "geometric orbifolds" over function fields of positive characteristic. Along the way, we also construct the first example of simply connected surface of general type over a global field with a non-empty, but non-Zariski dense set of rational points.

正標数の大域関数体上で、Brauer--Manin障害ではHasse原理の破れを説明できない単連結四次元多様体を構成する。主要な入力として、正標数関数体上のCampana幾何orbifoldに対するMordell型定理を証明する。

arXiv
1905.02795v2
初回投稿日
2019-05-07
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

局所解が存在しても大域有理点が存在しないHasse原理の破れは、しばしばBrauer--Manin障害で説明される。本論文は、その機構でも説明できない例を単連結な幾何の中に構成する。

従来例に共通した大きな基本群への依存を除き、正標数の大域関数体上で単連結四次元多様体を与える。構成は主要予想を仮定しない。

核心はCampanaの幾何orbifoldに対する関数体版Mordell定理である。さらに単連結な一般型曲面で、有理点集合が空でない一方Zariski稠密でない例も得る。

背景と問題設定

Brauer--Manin集合 $X(\mathbb A_K)^{\mathrm{Br}}$ が非空でも $X(K)$ が空となる例を、単連結多様体で構成できるかが問題である。

主結果

単連結四次元反例

Introductionでは概略として次のように述べられている。正標数の大域関数体 $K$ 上に滑らかで射影的な単連結四次元多様体 $X$ を構成し、

$$ X(\mathbb A_K)^{\mathrm{Br}}\ne\varnothing,\qquad X(K)=\varnothing $$

を実現する。

orbifold Mordell型定理

非等時的Campana点を制御するMordell型有限性・非稠密性を証明し、上の構成に必要な有理点制御を与える。

証明の見取り図

orbifold曲線上のCampana点を正標数特有の非分離性も含めて制御し、その算術的結果を多様体のファイバー構成へ組み込む。単連結性とBrauer--Manin集合の非空性を保ちながら大域点を排除する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1905.02795
  • Introduction: Section 1
  • 確認したarXivバージョン: v2
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction