On the ACC for Minimal Log Discrepancies for Bounded Generalized Sub-Pairs

書誌情報

• arXiv: arXiv:2609.20515
• 著者: Weichung Chen, Keng-Hung Steven Lin
• 初回投稿日・最終更新日: 2026年9月17日
• 主分類・副分類: math.AG（主分類）
• ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license

要約

minimal log discrepancy（mld）の昇鎖条件は、極小モデル・プログラムにおけるflip停止予想と結び付く基本問題である。IntroductionはShokurovの結果として、固定次元・DCC係数集合に対するmldのACCと、mld関数の下半連続性からflip停止が従うことを説明する。

従来は曲面、toric pair、Gorenstein index固定の場合、滑らかな三次元多様体、固定された三次元多様体などでACCが知られていた。本論文は対象を「有界」という幾何的条件で統制し、一般化sub-pairでは任意次元、通常のpairでは三次元で新しいACCを示す。

一般化sub-pairの定理では、非常に豊富な因子 $H$ の次数、境界の正負部分、nef partの係数を明示的に制御する。三次元定理ではlcを仮定する一方、境界係数は固定した任意のDCC集合に属してよい。

背景と問題設定

集合がACCを満たすとは、真に増加する無限列を含まないことをいう。mldが取り得る値の増加方向を離散化するこの性質は、双有理変換が無限に続かないことを示す枠組みの一部となる。

主結果

有界な一般化sub-pair（Theorem 1.2）

自然数 $d,n$ とDCC集合 $I\subseteq\mathbb R_{\geq0}$ を固定する。$d$ 次元 $\mathbb Q$-factorial一般化sub-pair $(X,B+\mathbf M)$ で、$B=E-F$（$E,F$ は有効、$F$ は整係数）、非常に豊富な $H$ が

$$ H^d\leq n,\qquad H-(E+F+\mathbf M)\geq0 $$

を満たし、$E$ と $\mathbf M$ の係数が $I$ に属するものを考える。この族の $\operatorname{mld}(X,B+M)$ の集合はACCを満たす。

有界な三次元pair（Theorem 1.3）

DCC集合 $I\subseteq\mathbb R_{>0}$ と $N>0$ を固定するとACC集合 $J(I,N)$ が存在する。三次元lc pair $(X,B)$ が $\operatorname{coeff}(B)\in I$ を満たし、$H^3\leq N$ となる非常に豊富な因子 $H$ をもてば、

$$ \operatorname{mld}(X,B)\in J(I,N) $$

となる。

原論文との対応

• Abstractページ: arXiv:2609.20515
• Introduction: Section 1
• Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1, 1.2, 1.3
• 確認したarXivバージョン: v1
• 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
• source_scope: Abstract and Introduction