Weak Kähler hyperbolicity is birational

書誌情報

• arXiv: arXiv:2406.01734
• 著者: Francesco Bei, Benoît Claudon, Simone Diverio, Stefano Trapani
• 初回投稿日: 2024年6月3日
• 最終更新日: 2024年10月8日
• 主分類・副分類: math.AG, math.CV
• ライセンス: CC BY 4.0

要約

GromovのKähler双曲性はKähler形式が普遍被覆上で有界な原始をもつことを要求するため、双有理モデルの変更に自然には振る舞わない。弱Kähler双曲性はKähler形式をbigかつnefな退化しうる類へ置き換え、この欠点を補う候補として導入された。

既知の結果では弱Kähler双曲性は修正に沿って引き戻せた。本論文は逆向き、すなわち修正 $\mu:Z\to X$ に対して $Z$ の弱Kähler双曲性が $X$ に降りることを証明する。

したがって弱Kähler双曲性はコンパクトKähler多様体の双有理不変量になる。さらに生成有限な支配的有理型写像に対する保存則と、退化集合の写像による振る舞いも導かれる。

背景と問題設定

$X$ 上の実 $(1,1)$-類で、bigかつnefであり、滑らかな代表が普遍被覆上で $d$-完全かつ有界な原始をもつものの錐を $W_X$ とする。定義は

$$ X\text{ が弱Kähler双曲的}\quad\Longleftrightarrow\quad W_X\ne\varnothing $$

である。課題は、修正の押し出しが一般にはnef性を保たないにもかかわらず、この錐の非空性を降下させることである。

主結果

主定理

$\mu:Z\to X$ をコンパクトKähler多様体間の修正とする。$Z$ が弱Kähler双曲的ならば $X$ も弱Kähler双曲的である。より具体的には $\alpha\in W_Z$ に対して $\mu_*\alpha\in W_X$ が成り立つ。

双有理不変性（Corollary 1.2）

双有理同値なコンパクトKähler多様体 $X,Y$ について、$X$ が弱Kähler双曲的であることと $Y$ が弱Kähler双曲的であることは同値である。

生成有限写像（Corollaries 1.3–1.4）

生成有限な支配的有理型写像 $f:X\dashrightarrow Y$ では、$Y$ の弱Kähler双曲性は $X$ へ移る。逆向きには基本群上の写像の単射性を仮定する。正則写像で両側が弱Kähler双曲的なら、その退化集合は

$$ Z_X=f^{-1}(Z_Y)\cup\operatorname{Exc}(f) $$

を満たす。

証明の見取り図

鍵は、普遍被覆上で有界な原始をもつ2次コホモロジー類が基本群の分類空間から来るという位相的記述である。Brunnbauer–Kotschick–Schönlinnerの結果を使ってこの双曲的類を基本群を通じて移し、$Z$ 上の類が $X$ 上の双曲的類の引き戻しであることを示す。複素幾何側ではbig・nef類の引き戻しと押し出しを組み合わせ、押し出した類が $W_X$ に入ることを得る。

原論文との対応

• Abstractページ: arXiv:2406.01734
• Introduction: Section 1, pp. 1–3
• Introduction中で言及された主要定理番号: Main Theorem, Corollaries 1.2–1.4
• 論文構成の説明: Introduction末尾および各結果後の説明, pp. 2–3
• 確認したarXivバージョン: v2
• 確認したライセンス: CC BY 4.0
• source_scope: Abstract and Introduction