代数幾何学 · 2026-08-29

On minimal model program and Zariski decomposition of potential triples

potential tripleの極小モデル・プログラムとZariski分解

Sung Rak Choi, Sungwook Jang, Dae-Won Lee

sung-rak-choi-j0kwrf sungwook-jang-1avd4os dae-won-lee-dwheiu birational-geometry minimal-model-program singularities positivity Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Minimal model program 極小モデル・プログラム Positivity 正値性

arXiv Abstract

In this paper, we investigate properties of potential triples $(X,Δ,D)$ which consists of a pair $(X,Δ)$ and a pseudoeffective $\mathbb{R}$-Cartier divisor $D$. In particular, we show that if $D$ admits a birational Zariski decomposition, then one can associate a generalized pair structure to the potential triple $(X,Δ,D)$. Moreover, we can run the generalized MMP on $(K_X+Δ+D)$ as special cases. As an application, we also show that for a pklt pair $(X,Δ)$, if $-(K_X+Δ)$ admits a birational Zariski decomposition with $\mathrm{NQC}$ positive part, then there exists a $-(K_X+Δ)$-minimal model.

日本語要約

対$(X,\Delta)$と擬有効$\mathbb R$-Cartier因子$D$からなるpotential tripleの性質を調べる。$D$が双有理Zariski分解をもてばgeneralized pair構造を対応させられ、特別な場合に$K_X+\Delta+D$のgeneralized MMPを実行できる。pklt対では、$-(K_X+\Delta)$の分解の正部分がNQCなら反標準極小モデルが存在する。

In this paper, we investigate properties of potential triples $(X,Δ,D)$ which consists of a pair $(X,Δ)$ and a pseudoeffective $\mathbb{R}$-Cartier divisor $D$. In particular, we show that if $D$ admits a birational Zariski decomposition, then one can associate a generalized pair structure to the potential triple $(X,Δ,D)$. Moreover, we can run the generalized MMP on $(K_X+Δ+D)$ as special cases. As an application, we also show that for a pklt pair $(X,Δ)$, if $-(K_X+Δ)$ admits a birational Zariski decomposition with $\mathrm{NQC}$ positive part, then there exists a $-(K_X+Δ)$-minimal model.

対$(X,\Delta)$に擬有効$\mathbb R$-Cartier因子$D$を加えたpotential tripleを扱う。$D$が双有理Zariski分解をもつときgeneralized pairへ移し替え、$(K_X+\Delta+D)$に関するMMPを走らせる条件と反標準因子への応用を与える。

arXiv
2502.00790v1
初回投稿日
2025-02-02
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

generalized pairでは付加的な因子がb-nef因子のtraceとして与えられる。本論文のpotential triple $(X,\Delta,D)$では$D$を単に擬有効な$\mathbb R$-Cartier因子とし、より広い枠組みで特異点とMMPを考える。

中心的仮定は$D$が双有理Zariski分解$f^*D=P+N$をもつことである。この分解からgeneralized pairを構成し、potential log canonicalな状況で非klt locusの閉性と$(K_X+\Delta+D)$-MMPの実行可能性を得る。

さらに$D$がbigでaugmented base locusがplc centerを含まない場合にもMMPを実行できる。反標準因子へ適用すると、NQC正部分をもつpklt対に反標準極小モデルが存在する。

背景と問題設定

potential log discrepancyは通常のlog discrepancyから$D$の漸近的因子付値を引いて定義され、pkltやplcといった特異点概念を与える。目標は$(K_X+\Delta+D)$-negativeな双有理収縮を構成することであるが、途中の$D$がnefになるまでは通常のgeneralized pairのMMPへ直ちに還元できない。

主結果

双有理Zariski分解からのMMP（Theorem 1.1）

potential triple $(X,\Delta,D)$について

$$ f^*D=P+N $$

という双有理Zariski分解が存在するとする。plcならpotential non-klt locus $\operatorname{pNklt}(X,\Delta,D)$はZariski閉である。さらに$X$が$\mathbb Q$-factorialなら$(K_X+\Delta+D)$-MMPを実行できる。

反標準極小モデル（Corollary 1.2）

$(X,\Delta)$が$\mathbb Q$-factorial pklt対で、$-(K_X+\Delta)$がNQC正部分をもつ双有理Zariski分解を許すなら、$-(K_X+\Delta)$-minimal modelが存在する。

bigな付加因子の場合（Theorem 1.3）

$D$をbigな$\mathbb Q$-Cartier因子とし、$\mathbf B_+(D)$がplc centerを含まないとする。このとき$D'\sim_{\mathbb Q}D$となる有効因子を選んで$(X,\Delta+D')$をlc対にでき、

$$ \operatorname{pNklt}(X,\Delta,D)=\operatorname{Nklt}(X,\Delta+D') $$

が成り立つ。加えて$(K_X+\Delta+D)$-MMPを実行できる。

証明の見取り図

双有理Zariski分解の負部分を境界へ、正部分をnefなb-divisor側へ移し、potential tripleをgeneralized pair $(X,(\Delta+f_*N)+f_*P)$として符号化する。これによりgeneralized pairに対するMMPの既存理論を利用する。bigな場合は基底 locusがplc centerを避ける仮定から有効な代表$D'$を選び、通常のlc対の非klt locusとpotential non-klt locusを一致させる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2502.00790
  • Introduction: Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1, Corollary 1.2, Theorem 1.3
  • 論文構成の説明: p. 3
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction