複素微分幾何学 · 2026-08-26

A YTD correspondence for constant scalar curvature metrics

定スカラー曲率計量に対するYTD対応

Tamás Darvas, Kewei Zhang

tamas-darvas-14g1z4s kewei-zhang-em7jym csck-extremal-kahler-metrics k-stability pluripotential-theory monge-ampere-equations K-stability K安定性 cscK and extremal Kähler metrics cscK・extremal Kähler計量 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-Ampere

arXiv Abstract

Given a compact K\"ahler manifold, to better understand Mabuchi's $K$ energy we introduce a family of $K^\beta$ energies, whose favorable properties are similar to those of the Ding energy from the Fano case. The construction uses Berman's transcendental quantization, and we show that the slope of the $K^\beta$ energies along test configurations can be computed using intersection theory. With these ingredients in place we provide a uniform Yau-Tian-Donaldson correspondence that characterizes the existence of a unique constant scalar curvature K\"ahler metric using test configurations. Combining our techniques with the non-Archimedean approach to $K$-stability pioneered by Boucksom--Jonsson, we show that the properness of the classical $K$ energy can be tested by checking its slope along a distinguished subclass of Chi Li-type models, called log discrepancy models, thus yielding another $G$-uniform Yau--Tian--Donaldson correspondence.

日本語要約

コンパクトKähler多様体上でMabuchiの$K$エネルギーを理解するため、Fanoの場合のDingエネルギーに似た性質を持つ$K^\beta$エネルギー族を導入する。Bermanの超越的量子化を用い、test configurationに沿う傾きを交点理論で計算する。これにより一意な定スカラー曲率Kähler計量の存在を一様安定性で特徴付け、さらに古典的$K$エネルギーの固有性をlog discrepancy model上の傾きで検査できることを示す。

Given a compact K\"ahler manifold, to better understand Mabuchi's $K$ energy we introduce a family of $K^\beta$ energies, whose favorable properties are similar to those of the Ding energy from the Fano case. The construction uses Berman's transcendental quantization, and we show that the slope of the $K^\beta$ energies along test configurations can be computed using intersection theory. With these ingredients in place we provide a uniform Yau-Tian-Donaldson correspondence that characterizes the existence of a unique constant scalar curvature K\"ahler metric using test configurations. Combining our techniques with the non-Archimedean approach to $K$-stability pioneered by Boucksom--Jonsson, we show that the properness of the classical $K$ energy can be tested by checking its slope along a distinguished subclass of Chi Li-type models, called log discrepancy models, thus yielding another $G$-uniform Yau--Tian--Donaldson correspondence.

Mabuchiの$K$エネルギーを超越的に量子化した$K^\beta$エネルギーを導入し、その連続性とtest configurationに沿う傾き公式を用いてcscK計量の存在を特徴付ける。偏極Kähler多様体が一意なcscK計量を持つことと、ある$\beta>0$に対する一様$K^\beta$安定性が同値である。

arXiv
2509.15173v2
初回投稿日
2025-09-18
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

cscK方程式の解はMabuchiの$K$エネルギーの臨界点であり、その存在は$K$エネルギーの固有性と結び付く。しかしエントロピー項は$d_1$位相で下半連続にとどまり、test configurationによる代数的検査へ移す際の障害となる。

著者らはエントロピーをBermanの超越的量子化に基づく$\beta$-エントロピーで置き換え、$K^\beta$エネルギーを構成する。$\beta\to\infty$で古典的$K$エネルギーへ単調に近づきつつ、$d_1$位相および測地線rayの弦距離について良い連続性を持つ。

この連続性と、test configurationに沿う$K^\beta$の傾きの交点理論的公式を組み合わせることで、一意なcscK計量の存在を一様$K^\beta$安定性で特徴付ける。検査対象がample test configurationである点が結果の具体性である。

さらにBoucksom--Jonsson型の非Archimedes的手法を組み合わせ、古典的$K$エネルギーの固有性をlog discrepancy modelという特別なモデル群だけで検査する別の$G$-一様YTD対応も得る。

背景と問題設定

$\omega$と同じ類のKähler計量を$\omega_u=\omega+dd^cu$と書くと、cscK方程式は$S_{\omega_u}=\bar S$である。$K$エネルギーはエントロピーとMonge--Ampèreエネルギーから成り、その非連続性を緩和するため

$$ \operatorname{Ent}\beta(u)=\sup{v\in\mathcal H_\omega} \left(-\log\frac1V\int_Xe^{\beta(v-u)}\omega^n+\beta(I(v)-I(u))\right) $$

を導入する。対応する$u_\beta$は

$$ (\omega+dd^cu_\beta)^n=e^{\beta(u_\beta-u)}\omega^n $$

を満たし、$\operatorname{Ent}\beta(u)=\beta(I(u\beta)-I(u))$となる。これが超越的量子化と呼ばれる理由である。

主結果

一様YTD対応（Theorem 1.1）

偏極Kähler多様体$(X,L)$について、次の二条件は同値である。

  1. $c_1(L)$内に一意なcscK計量が存在する。
  2. ある$\beta>0$について$(X,L)$が一様$K^\beta$安定である。

後者は、すべてのample test configuration $\mathcal T$に対し、ある$\gamma>0$が存在して

$$ K^\beta_{\mathcal T}\ge\gamma J_{\mathcal T} $$

となる条件である。Introductionでは、$K$エネルギーの固有性と十分大きい$\beta$での$K^\beta$の固有性の同値、およびray上の$K^\beta$の連続性が鍵だと説明される。

証明の見取り図

cscK計量があればChen--Cheng型の結果から$K$エネルギーが固有となり、量子化エネルギーとの固有性の同値を通じて一様$K^\beta$安定性を得る。逆向きでは、有限の$K$傾きを持つ測地線rayがtest configuration由来のrayで近似できるというChi Liの結果を使う。近似上の安定性不等式を弦距離に関する$K^\beta$と$J$の連続性で極限へ移し、$K\ge K^\beta$から$K$の測地線的固有性、したがってcscK計量の存在を導く。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2509.15173
  • Introduction: Section 1 “The main results”, pp. 2–9
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1, Theorem 1.2
  • 論文構成の説明: Contents, p. 1
  • 確認したarXivバージョン: v2
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction