代数幾何学 · 2026-08-24
A complex analytic approach to orbifold Chern classes on singular varieties and its applications
特異多様体上のorbifold Chern類への複素解析的アプローチと応用 Henri Guenancia, Mihai Păun henri-guenancia-12tce4i mihai-paun-17rbmhf chern-classes vector-bundles-sheaves stability singularities uniformization Singularities 特異点・特異性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Uniformization 一意化 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Chern class Chern classes Chern number Chern numbersarXiv Abstract
In this article, we prove the orbifold version of the Bogomolov-Gieseker inequality for stable $\mathbb Q$-sheaves on Kähler varieties, generalizing our earlier work \cite{GP25} in dimension three. We also provide a characterization of the equality case, a new purely analytical proof of the numerical characterization of complex torus quotients as well as a novel, complex analytic interpretation of the second orbifold Chern class associated to a $\mathbb Q$-sheaf.
日本語要約
特異Kähler多様体上のstable $\mathbb Q$-sheafに対するorbifold Bogomolov–Gieseker不等式を全次元で示し、等号の場合を特徴づける。第二orbifold Chern類を複素解析的に解釈する新しい方法を構成し、数値的条件による複素トーラス商の特徴づけに純解析的な証明を与える。
In this article, we prove the orbifold version of the Bogomolov-Gieseker inequality for stable $\mathbb Q$-sheaves on Kähler varieties, generalizing our earlier work \cite{GP25} in dimension three. We also provide a characterization of the equality case, a new purely analytical proof of the numerical characterization of complex torus quotients as well as a novel, complex analytic interpretation of the second orbifold Chern class associated to a $\mathbb Q$-sheaf.
商特異点を余次元2まで許すcompact Kähler空間上のstable reflexive sheafについて、orbifold Bogomolov–Gieseker不等式と等号の場合のprojective flatnessを証明する。第二orbifold Chern類を特異集合から離れた微分形式の積分で表し、標準類が数値的自明なklt Kähler多様体に対する複素トーラス商の解析的特徴づけへ応用する。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2601.08627
- 著者: Henri Guenancia, Mihai Păun
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年1月13日（v1）
- 主分類・副分類: math.AG; math.CV; math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
滑らかなcompact Kähler多様体上では、stable bundleのHermite–Einstein計量から曲率の点ごとの非負性を積分し、Bogomolov–Gieseker不等式を得る。特異空間では計量がorbifold計量とは限らず、その曲率積分が定義されたorbifold Chern数を計算する保証もない。
本論文は、余次元3以上の集合を除いて商特異点をもち、そこでorbibundleとなるreflexive sheafに対し、この障害を解消する。stable性からorbifold Bogomolov–Gieseker不等式を導き、等号を正則部分上の局所自由性とprojective flatnessで特徴づける。
中心的な新機軸は、$\omega^{n-2}$を特異集合から離れて台をもつ滑らかな形式と$\partial$-exact項へ分解し、第二Chern数を安全な領域上のChern–Weil積分として表すことである。これにより、$c_1(X)=0$のklt Kähler多様体が複素トーラスのquasi-étale商となるための数値的特徴づけを純解析的に証明する。
背景と問題設定
射影の場合には一般超平面切断を用いる代数的手法があるが、一般Kähler空間では使えない。論文はDolbeault・de RhamコホモロジーとAndreotti–Grauert定理を使い、orbifold Chern数を幾何解析に適した形へ変換する。
主結果
orbifold Bogomolov–Gieseker不等式（Theorem A）
$(X,\omega)$を次元$n$のcompact Kähler空間、$\mathcal F$を階数$r$の$[\omega]$-stable coherent reflexive sheafとする。余次元3以上の解析集合$Z$の外で$X$が高々商特異点をもち、$\mathcal F$がorbibundleなら、 $$\bigl(2r c_2(\mathcal F)-(r-1)c_1(\mathcal F)^2\bigr)\cdot[\omega]^{n-2}\ge0$$ が成り立つ。等号は$\mathcal F|{X{\mathrm{reg}}}$が局所自由かつprojectively flatであることと同値である。
複素トーラス商の特徴づけ（Corollary B）
$X$を$c_1(X)=0$のcompact Kähler klt多様体とする。あるKähler類$\alpha$について$c_2(X)\cdot\alpha^{n-2}=0$であることと、複素トーラス$T$から$X$へのquasi-étale coverが存在することは同値である。
第二Chern数の積分表示（Theorem C）
上記の特異性条件の下で、 $$\omega^{n-2}=\Omega+\partial\gamma$$ と書ける。ここで$\Omega$は$Z$から離れて台をもつ滑らかな$(n-2,n-2)$形式であり、任意のorbifold Hermitian計量$h$について $$c_2(\mathcal F)\cdot{\omega}^{n-2}=\int_{X\setminus Z}c_2(\mathcal F,h)\wedge\Omega$$ となる。
証明の見取り図
特異集合の近くで滑らか、外側でorbifold型となるKähler計量を選び、特異Hermite–Einstein計量の曲率を扱う。Theorem CでChern数を特異集合から離れた積分に移し、境界項を消すStokes公式を確立して点ごとの曲率不等式を積分する。等号では曲率のtrace-free部分が消えることからprojective flatnessを得る。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2601.08627
- Introduction: Section 1, pp. 1–4
- Introduction中の主要結果: Theorem A, Corollary B, Theorem C
- 確認したarXivバージョン: v1
- source_scope: Abstract and Introduction