複素微分幾何学 · 2026-08-18

The canonical structures of the limit of the Yang-Mills flows for nef and big classes

nefかつbigな類に対するYang--Mills流の極限の標準構造

Satoshi Jinnouchi

satoshi-jinnouchi-kfr2q3 positivity vector-bundles-sheaves stability hermite-einstein-metrics pluripotential-theory Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-Einstein

arXiv Abstract

In the previous paper \cite{Jin26}, the author introduced the notions of an adapted current $T$ and an adapted Hermitian-Einstein metric to establish the Kobayashi-Hitchin correspondence for a nef and big class $α$. As a continuation of the previous work, this paper studies the solvability and the convergence of the Yang-Mills flow for a nef and big class $α$ on a holomorphic vector bundle $E$ over a compact Kähler manifold $X$. In particular, we show that the limit of the Yang-Mills flow at infinity is determined by the holomorphic structure of $E$ and the nef and big class $α$. More precisely, if we fix an integrable unitary connection $A_0$ on $E$, we show that the $T$-Yang-Mills flow on $E$ with initial condition $A_0$ is solvable for all time and it converges to a $T$-Yang-Mills connection $A_{\infty}$ in the sense of Uhlenbeck limit. Furthermore, we also show that, on the ample locus of $α$, $A_{\infty}$ is complex-gauge equivalent to the direct sum of the Chern connections of the $T$-adapted Hermitian-Einstein metrics on the factors of the graded sheaf associated with the $α^{n-1}$-Harder-Narasimhan-Seshadri filtration of $E$.

日本語要約

コンパクトKähler多様体上の正則ベクトル束とnefかつbigな類 $\alpha$ に対し、adapted current $T$ を用いてYang--Mills流を定式化する。この流が全時間で解け、Uhlenbeckの意味で $T$-Yang--Mills接続へ収束することを示す。ample locus上では、極限は $\alpha^{n-1}$-Harder--Narasimhan--Seshadri filtrationの次数付き層の各因子が持つadapted Hermitian--Einstein計量のChern接続の直和と同一視される。

In the previous paper \cite{Jin26}, the author introduced the notions of an adapted current $T$ and an adapted Hermitian-Einstein metric to establish the Kobayashi-Hitchin correspondence for a nef and big class $α$. As a continuation of the previous work, this paper studies the solvability and the convergence of the Yang-Mills flow for a nef and big class $α$ on a holomorphic vector bundle $E$ over a compact Kähler manifold $X$. In particular, we show that the limit of the Yang-Mills flow at infinity is determined by the holomorphic structure of $E$ and the nef and big class $α$. More precisely, if we fix an integrable unitary connection $A_0$ on $E$, we show that the $T$-Yang-Mills flow on $E$ with initial condition $A_0$ is solvable for all time and it converges to a $T$-Yang-Mills connection $A_{\infty}$ in the sense of Uhlenbeck limit. Furthermore, we also show that, on the ample locus of $α$, $A_{\infty}$ is complex-gauge equivalent to the direct sum of the Chern connections of the $T$-adapted Hermitian-Einstein metrics on the factors of the graded sheaf associated with the $α^{n-1}$-Harder-Narasimhan-Seshadri filtration of $E$.

コンパクトKähler多様体上のnefかつbigな類をadapted currentで表し、それに関するYang--Mills流の長時間存在とUhlenbeck収束を証明する。 極限を $\alpha^{n-1}$-Harder--Narasimhan--Seshadri filtrationの次数付き層上のadapted Hermitian--Einstein接続で同定し、Kähler類の場合のBando--Siu予想型結果を退化した類へ拡張する。

arXiv
2608.15007v1
初回投稿日
2026-08-15
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Kobayashi--Hitchin対応は、正則ベクトル束の安定性をHermitian--Einstein計量の存在と結ぶ。Kähler類に関してはYang--Mills流のUhlenbeck極限が元の束のHarder--Narasimhan構造だけで決まることが知られている。本論文はその収束像をnefかつbigな類へ拡張する。

nefかつbigな類はKähler類の極限として現れるが、それを表す計量は正定値とは限らず、非Kähler locusに沿って特異になる。著者の先行研究で導入されたadapted currentは、ample locusでは滑らかなKähler計量であり、適切な滑らかな近似を持つ。この構造をYang--Mills流の背景計量として使う。

第一の主結果は $T$-Yang--Mills流の全時間存在である。第二の主結果は、Uhlenbeck極限を元の正則束の $\alpha^{n-1}$-Harder--Narasimhan--Seshadri filtrationから標準的に記述する。

背景と問題設定

Kählerの場合、Daskalopoulos--WentworthとSibleyは、Yang--Mills流の極限が元の正則構造のHarder--Narasimhan filtrationで決まるというBando--Siuの予想を解いた。nefかつbigな類では背景currentが退化するため、通常の放物型PDE論やChern--Weil公式をそのまま適用できないことが新しい困難である。

主結果

長時間存在（Theorem A）

$X$ をコンパクトKähler多様体、$\alpha$ をnefかつbigな類、$T\in\alpha$ をadapted currentとする。正則ベクトル束 $(E,\bar\partial_E)$ と滑らかなHermitian計量 $h_0$ に付随するChern接続 $A_0$ から始めた $T$-Yang--Mills流

$$ \frac{\partial A_t}{\partial t}=-d^{*h_0,T}{A_t}F{A_t}, \qquad A_{t=0}=A_0 $$

は全時間で解を持ち、$(X\setminus E_{\rm nK}(\alpha))\times[0,\infty)$ 上で滑らかである。

極限の標準構造（Theorem B）

$p>n=\dim X$ とする。流の時刻列 $t_j\to\infty$ とunitary gauge変換を選ぶと、非Kähler locusとHausdorff余次元4以上の閉集合を除いて、$A_{t_j}$ は弱い $L^p_{1,\mathrm{loc}}$ の意味で $T$-Yang--Mills接続 $A_\infty$ へ収束する。

さらに極限束は直交分解を持ち、ample locus上で

$$ \operatorname{Gr}^{\rm HNS}{\alpha}(E) =\bigoplus_i Q_i \cong(E\infty,A_\infty) $$

となる平行同型が存在する。各極限因子の接続は、$Q_i$ 上の $T$-adapted Hermitian--Einstein計量のChern接続と対応する。したがって極限は初期計量の偶然ではなく、$E$ の正則構造と $\alpha$ により決まる。

証明の見取り図

adapted currentをKähler計量 $\omega_\varepsilon$ で近似し、Guo--Phong--Song--Sturmの熱核一様評価を使って $\omega_\varepsilon$-Yang--Mills流から $T$-流を構成する。Uhlenbeck compactnessにより部分列極限を得た後、Hermitian--Yang--Mills型汎関数を使って極限の曲率固有値と元のHarder--Narasimhan typeを一致させる。

最後にfiltrationの部分層を弱正則射影として扱い、近似列に沿う収束を示す。退化したcurrentのもとでは極限因子が非Kähler locusの補集合にしか定義されないため、adapted Hermitian--Einstein計量を使って次数付き層と極限束の平行同型を構成する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2608.15007
  • Introduction: Section 1, pp. 2–6
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem A, Theorem B, Remark C
  • 論文構成の説明: Introduction, pp. 5–6
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction