複素微分幾何学 · 2026-08-15

The Kobayashi-Hitchin correspondence for nef and big classes

nefかつbigな類に対する小林–Hitchin対応

Satoshi Jinnouchi

satoshi-jinnouchi-kfr2q3 positivity vector-bundles-sheaves stability hermite-einstein-metrics higgs-nonabelian-hodge Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Higgs bundles and nonabelian Hodge theory ヒッグス束・非可換ホッジ理論 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-Einstein

arXiv Abstract

This paper provides a complete proof of the Kobayashi-Hitchin correspondence for nef and big classes. We introduce the notion of an adapted closed positive $(1,1)$-current $T$ lying in a nef and big class $α$, and that of a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric of a holomorphic vector bundle. Then we prove that a holomorphic vector bundle $E$ over a compact Kähler manifold $X$ is slope polystable with respect to a nef and big class $α$ if and only if $E$ admits a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric for every adapted current $T$ in $α$. Furthermore, we also establish the uniqueness of a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric on $E$ when it exists. Our main theorem above immediately implies that the Kobayashi-Hitchin correspondence holds even in singular settings. In particular, this singular Kobayashi-Hitchin correspondence applies to reflexive sheaves over compact normal Kähler varieties with log terminal singularities endowed with singular Kähler-Einstein metrics. Furthermore, the singular Kobayashi-Hitchin correspondence proves that the graded sheaf associated to a Jordan-H${\rm \ddot{o}}$lder filtration of a semistable sheaf for a nef and big class $α$ admits a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric. As an application of the Kobayashi-Hitchin correspondence, we show that if a holomorphic vector bundle ${E}$ is slope polystable with respect to a nef and big class $α$ and $E$ attains the equality of the Bogomolov-Gieseker inequality with respect to $α$, then ${E}$ is projectively flat on the ample locus of $α$. All these results are new even if compact Kähler manifolds are projective and nef and big classes are the 1st Chern class of nef and big line bundles. One of key features of our approach is that the adapted current $T$ need not be strictly positive and its singularities need not be described explicitly.

日本語要約

nefかつbigな類に適合する正閉$(1,1)$-currentとHermitian–Yang–Mills計量を定義し、ベクトル束の斜率多安定性との同値を証明する。対応は対数端末特異点をもつ正規Kähler多様体上の反射的層にも移される。さらに半安定層のJordan–Hölder次数付き層に適合計量を与え、Bogomolov–Gieseker等号の場合にはample locus上の射影平坦性を得る。

This paper provides a complete proof of the Kobayashi-Hitchin correspondence for nef and big classes. We introduce the notion of an adapted closed positive $(1,1)$-current $T$ lying in a nef and big class $α$, and that of a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric of a holomorphic vector bundle. Then we prove that a holomorphic vector bundle $E$ over a compact Kähler manifold $X$ is slope polystable with respect to a nef and big class $α$ if and only if $E$ admits a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric for every adapted current $T$ in $α$. Furthermore, we also establish the uniqueness of a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric on $E$ when it exists. Our main theorem above immediately implies that the Kobayashi-Hitchin correspondence holds even in singular settings. In particular, this singular Kobayashi-Hitchin correspondence applies to reflexive sheaves over compact normal Kähler varieties with log terminal singularities endowed with singular Kähler-Einstein metrics. Furthermore, the singular Kobayashi-Hitchin correspondence proves that the graded sheaf associated to a Jordan-H${\rm \ddot{o}}$lder filtration of a semistable sheaf for a nef and big class $α$ admits a $T$-adapted Hermitian-Yang-Mills metric. As an application of the Kobayashi-Hitchin correspondence, we show that if a holomorphic vector bundle ${E}$ is slope polystable with respect to a nef and big class $α$ and $E$ attains the equality of the Bogomolov-Gieseker inequality with respect to $α$, then ${E}$ is projectively flat on the ample locus of $α$. All these results are new even if compact Kähler manifolds are projective and nef and big classes are the 1st Chern class of nef and big line bundles. One of key features of our approach is that the adapted current $T$ need not be strictly positive and its singularities need not be described explicitly.

nefかつbigな類に関する斜率多安定性と、ample locus上の特異なHermitian–Yang–Mills計量の存在・一意性を対応させる。 特異Kähler–Einstein空間への応用と、Bogomolov–Gieseker等号から射影平坦性を導く結果も含む。

arXiv
2603.10312v1
初回投稿日
2026-03-11
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

通常の小林–Hitchin対応は、Kähler類に関する斜率多安定性を滑らかなHermitian–Yang–Mills（HYM）計量の存在と結びつける。本論文は、境界で退化し得るnefかつbigな類までこの対応を拡張する。

著者は、類$\alpha$内の「適合した」正閉$(1,1)$-current $T$と、ample locus上で定義される$T$-適合HYM計量を導入する。$T$は正定値である必要がなく、その特異性を明示的に記述する必要もない点が特徴である。

主結果は、コンパクトKähler多様体上の正則ベクトル束$E$について、$\alpha^{n-1}$-斜率多安定性と$T$-適合HYM計量の存在が同値であり、存在する計量は定数倍を除いて一意だという完全な対応である。

さらに、半安定な捩れなし層のJordan–Hölder次数付き層、klt正規Kähler多様体上の反射的層、Bogomolov–Gieseker不等式の等号場合へ応用する。最後の応用では、等号からample locus上の局所自由性と射影平坦性が従う。

背景と問題設定

DonaldsonとUhlenbeck–Yauの定理、その反射的層版であるBando–Siuの理論は、滑らかなKähler計量を基礎とする。nefかつbigな類では、最小特異性をもつ正currentは一般に正定値でなく、特異性も明示できないため、従来の解析をそのまま適用できない。

適合currentはample locus上で滑らかなKähler計量となり、修正上では非Kähler locusの定義切断による下からの評価と、一様な$L^p$密度評価をもつKähler近似を備える。適合HYM計量には

$$ \sqrt{-1}\Lambda_T F_h=\lambda\operatorname{Id} $$

に加え、曲率の有限エネルギーと非Kähler locus付近の増大を制御する条件が課される。

主結果

小林–Hitchin対応（Theorem 1.4）

$X$をコンパクトKähler多様体、$\alpha$をnefかつbigな類、$T\in\alpha$を適合正current、$E$を正則ベクトル束とする。このとき次は同値である。

  1. $E$は$\alpha^{n-1}$-斜率多安定である。
  2. $E$は$T$-適合HYM計量をもつ。

計量は存在すれば定数倍を除いて一意である。解消を通じ、同じ対応は正規解析多様体上の反射的層にも及ぶ（Corollary 1.6）。

半安定層と特異Kähler–Einstein空間（Theorem 1.7、Corollary 1.8）

$\alpha^{n-1}$-斜率半安定な捩れなし層はJordan–Hölder filtrationをもち、その次数付き層には一意な適合HYM計量が入る。また、対数端末特異点をもつ正規Kähler多様体に特異Kähler–Einstein計量$\omega$がある場合、反射的層の${\omega}^{n-1}$-斜率多安定性は$\omega$-適合HYM計量の存在と同値になる。

Bogomolov–Gieseker不等式と等号（Theorem 1.12）

階数$r$の$\alpha^{n-1}$-斜率多安定反射的層$E$に対し、

$$ \bigl(2r c_2(E)-(r-1)c_1(E)^2\bigr)\cdot\alpha^{n-2}\geq 0 $$

が成り立つ。等号なら$E$は$\operatorname{Amp}(\alpha)$上で局所自由かつ射影平坦である。この等号部分は、射影多様体で$\alpha$がnefかつbigな直線束の第一Chern類の場合にも新しいとIntroductionは述べる。

証明の見取り図

非Kähler locusを単純正規交差因子にした後、$T$を滑らかなKähler計量$\omega_i$で近似する。安定な$E$にはUhlenbeck–Yauにより$\omega_i$-HYM計量があり、その接続へUhlenbeckコンパクト性を適用してample locus上の極限を得る。

核心は極限を束$E$上の適合計量として制御する一様評価である。Guo–Phong–Sturm型の平均値不等式により非Kähler locus付近の増大を抑え、弱正則部分束のChern–Weil公式を拡張して、極限で生じ得る不安定化部分層を排除する。逆向きと一意性にはChern–Weil計算と安定束間の正則写像の剛性を用いる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv Abstract
  • Introduction: Section 1, pp. 2–9
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.4, Theorem 1.7, Theorem 1.12; Corollary 1.6, 1.8, 1.9
  • 論文構成の説明: Introduction, Section 1.2
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction