複素微分幾何学 · 2026-08-12
The moduli space of Higgs pairs
Higgs対のモジュライ空間 Jun Sasaki jun-sasaki-1njwdtu vector-bundles-sheaves moduli stability higgs-nonabelian-hodge Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Moduli and families モジュライ・族 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Higgs bundles and nonabelian Hodge theory ヒッグス束・非可換ホッジ理論arXiv Abstract
In this paper, we study the moduli space of Higgs pairs, which can be considered as a generalization of holomorphic pairs. Higgs pairs are an example of quiver bundles. We introduce the notion of $τ$-stability of Higgs pairs for $τ\in\mathbb{R}$ and establish the Kobayashi-Hitchin correspondence for Higgs pairs. The differential-geometric objects corresponding to stable Higgs pairs is called the vortex equations for Higgs bundles. We analyze the moduli space of stable Higgs pairs when the base space of vector bundle is a compact Riemann surface and obtaine the following results. Firstly, we prove that the moduli space is non-singular complex manifold for a suitable choice of $τ$. Secondly, we determine the Poincaré polynomial of the moduli space for rank 2 bundle. Lastly, we construct a map from the moduli space of stable Higgs pairs to the moduli space of stable Higgs bundles and proved that the map is a fibration under suitable assumptions.
日本語要約
正則対を一般化するHiggs対を導入し、実数パラメータ$\tau$に依存する安定性と、Higgs束に対するvortex方程式とのKobayashi–Hitchin対応を扱う。基礎がコンパクトRiemann面の場合、適切な$\tau$で安定Higgs対のモジュライが非特異複素多様体になることを示す。階数2ではPoincaré多項式を決定し、追加仮定のもとで安定Higgs束のモジュライへの写像がファイブレーションになることも証明する。
In this paper, we study the moduli space of Higgs pairs, which can be considered as a generalization of holomorphic pairs. Higgs pairs are an example of quiver bundles. We introduce the notion of $τ$-stability of Higgs pairs for $τ\in\mathbb{R}$ and establish the Kobayashi-Hitchin correspondence for Higgs pairs. The differential-geometric objects corresponding to stable Higgs pairs is called the vortex equations for Higgs bundles. We analyze the moduli space of stable Higgs pairs when the base space of vector bundle is a compact Riemann surface and obtaine the following results. Firstly, we prove that the moduli space is non-singular complex manifold for a suitable choice of $τ$. Secondly, we determine the Poincaré polynomial of the moduli space for rank 2 bundle. Lastly, we construct a map from the moduli space of stable Higgs pairs to the moduli space of stable Higgs bundles and proved that the map is a fibration under suitable assumptions.
Higgs束とその正則切断からなるHiggs対にτ安定性を導入し、Higgs束版vortex方程式とのKobayashi–Hitchin対応を定式化する。曲線上では適切なτのもとでモジュライの滑らかさ、階数2のPoincaré多項式、安定Higgs束モジュライへのファイブレーションを調べる。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2604.24400v1
- 著者: Jun Sasaki
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年4月27日（確認対象のv1）
- 主分類・副分類: math.DG（主分類、副分類なし）
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
Higgs束に対するKobayashi–Hitchin対応は、代数的な安定性とHermitian–Yang–Mills接続の存在を結ぶ。本論文はHiggs束$(E,D'')$に$D''s=0$を満たす切断$s$を加えたHiggs対を対象とし、正則対に対するvortex理論をHiggs幾何へ拡張する。
ゲージ理論側の中心方程式は
$$ \sqrt{-1}\Lambda R(D)+\frac12s\circ s^*=\frac\tau2\operatorname{id}_E, \qquad D''s=0. $$
これはdoubly-coupled vortex方程式で片方の束を自明な直線束とし、一方の射を消した特殊化として導かれる。Higgs対をquiver bundleの一例と見ることで、$\tau$安定性とこの方程式の解を対応させる。
コンパクトRiemann面上ではモジュライ空間そのものを解析する。Higgs場$\theta$と切断$s$の間に$\theta(s)=0$という追加関係があるため、通常のquiver bundleの変形理論をそのまま適用せず、専用の変形複体を用いる点が重要である。
背景と問題設定
通常の正則対からはBradlow型vortex方程式が生じる。Higgs束の場合にはChern接続をHitchin–Simpson接続へ置き換えるだけでなく、Higgs場と切断の両立条件を変形中も保存する必要がある。本論文の$\tau$安定性は、すべてのHiggs部分層$F$についての傾き条件と、切断を含む部分層についての商$E/F$の傾き条件を組み合わせる。
適切な壁を避ける$\tau$を選ぶと、方程式の可解性と$\tau$安定性が直接対応する。曲線上のモジュライでは、滑らかさを妨げる変形複体の第2コホモロジーを明示的に消すことが課題になる。
主結果
Kobayashi–Hitchin対応
Introductionでは概略として、Higgs対$(D'',s)$が$\tau$安定であることと、あるHermitian計量に関して上の$\tau$-vortex方程式を満たすことが対応すると述べられている。厳密にはpolystableな直和成分を許す場合分けがあり、$\tau$が部分束の傾きから定まる壁を避ければ安定性との同値になる。
モジュライの滑らかさ（Propositions 5.3–5.4）
基礎がコンパクトRiemann面で$\tau$を適切に選ぶと、安定Higgs対のモジュライ$\mathcal M^{st}_{HP}$は非特異複素多様体となる。論文はHiggs対固有の変形複体を記述し、その第2コホモロジーの消滅から障害がないことを示す。
階数2のトポロジー（Theorem 5.7）
階数2の場合に$\mathcal M^{st}_{HP}$のPoincaré多項式を決定する。Introductionによれば、モジュライがKähler計量とHamiltonian円作用を持つことを用い、対応するmoment mapの臨界集合を解析するMorse理論的手法を採る。
安定Higgs束モジュライへの写像（Proposition 5.8）
追加仮定のもとで、安定Higgs対のモジュライから安定Higgs束のモジュライへの写像を構成し、それがファイブレーションであることを示す。これは正則対についてのBradlow–Daskalopoulosの結果のHiggs版に当たる。
証明の見取り図
まず$SU(2)$不変なHYM方程式を次元縮約し、doubly-coupled vortex方程式を得る。自明直線束への特殊化からHiggs対の方程式を取り出し、quiver bundleの一般的Kobayashi–Hitchin対応を適用する。曲線上では独自の楕円型変形複体で滑らかさを証明し、階数2ではHamiltonian円作用のmoment mapにMorse理論を適用してPoincaré多項式を計算する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2604.24400v1
- Introduction: Section 0, pp. 1–5
- Introduction中の主要結果: Propositions 5.3, 5.4, Theorem 5.7, Proposition 5.8
- 確認したarXivバージョン: v1（Abstractページには後続v2も表示）
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction