代数幾何学 · 2026-10-29

On the existence of polarized varieties without weakly Ulrich bundles

弱Ulrich束を持たない偏極多様体の構成

Ozhan Genc, Angelo Felice Lopez

ozhan-genc-1c5h4fa angelo-felice-lopez-sgwqgb vector-bundles-sheaves chern-classes Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

We give an obstruction to the existence of bundles $\mathcal E$ on a smooth $n$-dimensional polarized variety such that $\mathcal E$ is $a$-regular and ${\mathcal E}^*(K_X+(n+1)H)$ is $b$-regular. In particular, this gives an obstruction to the existence of weakly Ulrich bundles. Using the latter and some recent examples of [A1] in dimension $2$, we prove that for any $n \ge 2$ there exist many smooth $n$-dimensional varieties $X$ with a very ample line bundle $H$, such that there is no weakly Ulrich bundle for $(X,H)$.

日本語要約

滑らかな偏極多様体上の束と、その双対を標準因子などで捩った束の正則度に着目し、束の存在に必要なChern数の不等式を示す。両方が1-regularとなる弱Ulrich束の場合には明示的な非存在条件が得られる。Hesse配置に由来する曲面を出発点に、積や滑らかな切断を用いて任意の次元2以上に非存在例を構成する。

We give an obstruction to the existence of bundles $\mathcal E$ on a smooth $n$-dimensional polarized variety such that $\mathcal E$ is $a$-regular and ${\mathcal E}^*(K_X+(n+1)H)$ is $b$-regular. In particular, this gives an obstruction to the existence of weakly Ulrich bundles. Using the latter and some recent examples of [A1] in dimension $2$, we prove that for any $n \ge 2$ there exist many smooth $n$-dimensional varieties $X$ with a very ample line bundle $H$, such that there is no weakly Ulrich bundle for $(X,H)$.

ベクトル束とその捩った双対の正則度から、偏極の次数とChern数の間に必要不等式を導く。弱Ulrich束に特殊化して存在障害を得るとともに、任意の次元2以上で弱Ulrich束を持たない滑らかな複素射影多様体を構成する。

arXiv
2610.36231v1
初回投稿日
2026-10-26
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Ulrich束や弱Ulrich束は射影多様体のChow形式を簡潔に記述するために有用な束である。近年Ulrich束が存在しない複素多様体が構成されたが、より弱いコホモロジー消滅しか要求しない弱Ulrich束にも非存在例があるかは別の問題であった。

著者らは、束$E$とその捩った双対のCastelnuovo–Mumford正則度を同時に抑えると、多様体のChern数に制限が生じることを示す。弱Ulrich性を両方の1-regular性で特徴づけることで、明示的な非存在条件へつなぐ。

さらに曲面の既知の構成にこの障害を適用し、任意の次元2以上で弱Ulrich束を持たない偏極多様体を得る。十分に豊富な別の偏極へ取り替えた場合の存在問題は、Introductionで残る問題として区別されている。

背景と問題設定

$X\subset\mathbb P^N$を滑らかな$n$次元射影多様体、$H$を超平面因子とする。弱Ulrich束の条件は、$E$と$E^\vee(K_X+(n+1)H)$がともに1-regularであることと同値である。通常のUlrich束より許されるコホモロジー表が広いため、従来の非存在不等式をそのまま使うだけでは足りない。

主結果

二つの正則度からの数値的障害（Theorem 1）

$E$が$a$-regularで、$E^\vee(K_X+(n+1)H)$が$b$-regularなら$a+b\geq0$となる。Introductionに掲げられた主要な数値的制約は、Chern数が現れる$n\geq2$では

$$ \bigl(n-2+3(2a+2b+1)^2\bigr)H^n\geq (K_X^2-2c_2(X))\cdot H^{n-2} $$

である。束自身のChern類を残すのでなく、多様体と偏極の数値だけで束の存在を阻む点が重要である。

弱Ulrich束の非存在（Corollary 1）

滑らかな複素射影多様体で$n\geq2$とし、

$$ (n+73)H^n<(K_X^2-2c_2(X))\cdot H^{n-2} $$

が成り立てば、$(X,H)$には弱Ulrich束が存在しない。係数$73$は$a=b=1$を上の不等式に代入して得られる。この非存在は、次元2までの逐次的な滑らかな超平面切断にも引き継がれる。

全次元の非存在例（Theorem 2）

Hesse配置に付随する指数$k$のHirzebruch–Kummer被覆の極小解消$Y_k$と、引用文献の記号による偏極$L_k=4A_k-E_k$を取る。$k\geq8$なら$(Y_k,L_k)$は弱Ulrich束を持たない。

さらに$n\geq3$で、滑らかな既約な$(n-2)$次元多様体$Z$と非常に豊富な線束$H_Z$から

$$ X=Y_k\times Z,\qquad H=L_k\boxtimes H_Z $$

を作ると、十分大きい$k$で$(X,H)$、その滑らかな超曲面切断、さらに次元2までの逐次超平面切断に弱Ulrich束は存在しない。超曲面切断を用いることで、単なる非自明な積と同型でない例も得られるとIntroductionは説明する。

証明の見取り図

Introductionが示す経路は、弱Ulrich性を正則度に言い換え、一般の正則度に対する数値的障害を適用し、その障害を満たす既知の曲面を高次元化するというものである。数値的障害そのものの証明の詳細は後続節にあり、本記事では再構成しない。正標数では存在問題について異なる肯定的結果が紹介されており、複素数上の非存在例と区別する必要がある。

原論文との対応

  • Abstractページ: 公式arXivページ
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–2
  • Introduction中で言及された主要結果: Theorem 1、Corollary 1、Theorem 2
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2610.36231v1
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction