複素微分幾何学 · 2026-10-26

Holomorphic functions on complete Hermitian manifolds with flat Chern connection, II

完備Chern平坦Hermitian多様体のOka性、多項式増大正則関数と一意化

Duoxin Li, Hanyu Wu, Bo Yang

duoxin-li-gjawo9 hanyu-wu-wtnsi6 bo-yang-1dpaisv curvature oka-theory stein-geometry uniformization Curvature geometry 曲率幾何 Stein geometry and the Levi problem Stein幾何・Levi問題 Oka theory Oka理論 Uniformization 一意化

arXiv Abstract

In this paper, we prove several results concerning the function theory of complete Hermitian manifolds with vanishing Chern curvature, which we refer to as complete Chern-flat manifolds. First, we prove that any complete simply connected Chern-flat manifold is elliptic in the sense of Gromov. Moreover, it is biholomorphic to a complex Lie group if the torsion has polynomial growth. Next, we obtain sharp dimension estimates for holomorphic functions of polynomial growth on complete Chern-flat manifolds, with no growth assumption on the torsion. Finally, we prove that any complete Chern-flat manifold admitting polynomial-growth holomorphic functions that form a local holomorphic coordinate system at some point is biholomorphic to complex Euclidean space. These results generalize our previous work, in which sublinear growth of the torsion was assumed. The new analytic tool is a version of Cauchy estimates along orbits of holomorphic flows generated by parallel unitary frames on such manifolds.

日本語要約

完備Chern平坦Hermitian多様体上で、平行な正則フレームが生成する流れに沿ったCauchy評価を導入する。これにより普遍被覆の楕円性、多項式増大の捩率の下での複素Lie群への双正則性、多項式増大正則関数の次元の鋭い上界を得る。後者には捩率の増大条件を課さず、その階数による精密化も与える。多項式増大関数が一点で局所座標を成すなら多様体は複素Euclid空間に双正則であり、複素曲面の場合には正則等長まで結論できる。

In this paper, we prove several results concerning the function theory of complete Hermitian manifolds with vanishing Chern curvature, which we refer to as complete Chern-flat manifolds. First, we prove that any complete simply connected Chern-flat manifold is elliptic in the sense of Gromov. Moreover, it is biholomorphic to a complex Lie group if the torsion has polynomial growth. Next, we obtain sharp dimension estimates for holomorphic functions of polynomial growth on complete Chern-flat manifolds, with no growth assumption on the torsion. Finally, we prove that any complete Chern-flat manifold admitting polynomial-growth holomorphic functions that form a local holomorphic coordinate system at some point is biholomorphic to complex Euclidean space. These results generalize our previous work, in which sublinear growth of the torsion was assumed. The new analytic tool is a version of Cauchy estimates along orbits of holomorphic flows generated by parallel unitary frames on such manifolds.

完備Chern平坦Hermitian多様体について、普遍被覆の楕円性と多項式増大正則関数の鋭い次元評価を証明する。捩率の多項式増大を仮定すると普遍被覆は複素Lie群に双正則となり、多項式増大関数が一点で局所座標を与える場合には多様体自体が複素Euclid空間に双正則となる。

arXiv
2609.10159v1
初回投稿日
2026-09-09
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Chern接続が平坦なHermitian多様体でも、その捩率は零とは限らず、Kähler平坦多様体と同じ幾何を持つわけではない。本論文はRiemann計量として完備なChern平坦多様体を対象とし、正則関数の増大と大域的な複素構造との関係を調べる。

第一の結果は、捩率の増大条件なしに普遍被覆がGromovの意味で楕円になることである。さらに捩率が多項式増大なら、普遍被覆は複素Euclid空間と単連結複素Lie群の積に双正則となる。以前の劣線形増大の場合の結果とは異なり、この広い範囲では正則等長ではなく双正則性が結論である。

多項式増大正則関数については、Euclid空間と同じ鋭い次元上界を、捩率の増大条件を置かずに得る。これらの関数が一点で局所座標を与えるほど豊富なら、元の多様体が $\mathbb C^n$ に双正則である。複素次元2ではさらに計量自体の剛性が成立する。

背景と問題設定

完備Chern平坦Hermitian多様体 $(M,g)$ 上で、基点 $p$ からの距離に対し $|f(q)|\le C(1+d_g(q,p))^d$ を満たす正則関数の空間を $\mathcal O_d(M,g)$ とする。$d\ge0$ は実数である。

コンパクトなChern平坦多様体は複素Lie群によって正則等長に被覆されるというBoothbyの定理が背景にある。非コンパクトな場合、著者らの先行研究は捩率が劣線形増大なら同様の結論を得た。本論文はその範囲を超える捩率を許し、曲率の平坦性から何がなお残るかを問う。

主結果

普遍被覆の楕円性と複素Lie群への双正則性（Theorem 1.2）

連結な完備Chern平坦Hermitian多様体の普遍被覆 $\widetilde M$ は支配的正則sprayを持ち、Gromovの意味で楕円である。したがってOkaであり、非定数有界多重劣調和関数を持たない。

さらに捩率 $T$ が、ある $C>0$、$\delta\ge0$ に対して

$$ |T|(x)\le C(1+d_g(p,x))^\delta $$

を満たすなら、ある $0\le l\le n$ と単連結複素Lie群 $G_0$ により

$$ \widetilde M\cong\mathbb C^l\times G_0 $$

と双正則になり、特にSteinである。この分解は計量の直積分解を一般に与えるものではない。

多項式増大関数の次元と等号剛性（Theorem 1.3）

複素次元 $n$ の完備Chern平坦Hermitian多様体では、捩率の増大条件なしに

$$ \dim_{\mathbb C}\mathcal O_d(M,g)\le\binom{n+\lfloor d\rfloor}{n} $$

が成り立つ。捩率の像の最大階数を

$$ \rho=\max_{q\in M}\dim_{\mathbb C}\operatorname{span}_{\mathbb C}\lbrace T_q(U,V):U,V\in T_q^{1,0}M\rbrace $$

とすると、$d\ge1$ についてさらに

$$ \dim_{\mathbb C}\mathcal O_d(M,g) \le\binom{n+\lfloor d\rfloor-1}{n} +\binom{n-\rho+\lfloor d\rfloor-1}{\lfloor d\rfloor} $$

を得る。上側の整数が下側より小さい二項係数は零とする。最初のEuclid上界である $d\ge1$ に対して等号が成り立つことは、$(M,g)$ が複素Euclid空間に正則等長であることと同値である。

多項式増大の局所座標からの一意化（Theorems 1.5, 1.6）

性質 (H) とは、多項式増大の正則関数 $f_1,\ldots,f_n$ がある一点の近傍で正則座標系を与えることをいう。Theorem 1.5は、連結な完備Chern平坦Hermitian多様体が (H) を持てば $M\cong\mathbb C^n$ となることを示す。さらに双正則写像と座標を適切に選ぶと、$M$ 上の多項式増大正則関数はすべて引き戻し後に座標の多項式になる。

Theorem 1.6では複素次元2という追加条件の下で、$(M,g)$ が $\mathbb C^2$ に正則等長と結論する。高次元にはこの強い等長結論を満たさないLie群の例があり、双正則性と等長性の区別が本質的である。

証明の見取り図

普遍被覆上の大域的ユニタリ平行フレームが完備な正則フローを生成する。その軌道に沿ってCauchy評価を行うことが新しい解析的道具であり、従来の勾配評価と異なり捩率の増大仮定を必要としない。

線形増大の正則関数を構成し、そのレベル集合を用いて複素直線方向を双正則に分離する。このフレームはChern接続に平行であってRiemann接続に平行とは限らないため、通常の計量分裂定理とは違う経路になる。精密な次元評価では、最高次微分が捩率の像で割った接空間に制限されることを使って次元を数える。

Introductionは、多項式より速く増大する捩率の場合にも複素Lie群への双正則性が成り立つかを今後の問題として挙げる。これは本論文で一般に解決された主張ではない。

原論文との対応

  • Abstractページ: 公式arXivページ
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–4（Section 2の前まで）
  • Introduction中で言及された主要結果: Theorems 1.2, 1.3, 1.5, 1.6（Theorem 1.1は先行結果、Question 1.7は未解決問題）
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2609.10159v1
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction