代数幾何学 · 2026-10-21

Nef complexity of klt Fano varieties: the full spectrum and classification below two

klt Fano多様体のnef complexityの全スペクトルと2未満の分類

Kiwamu Watanabe

kiwamu-watanabe-1xwgpr2 fano-varieties positivity singularities birational-geometry Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Positivity 正値性 Fano varieties ファノ多様体

arXiv Abstract

Let $X$ be a complex klt Fano variety. We study the rational total index $\tau_X$ and the nef complexity $c_X=\dim X+\rho(X)-\tau_X$. Previous joint work of the author with Enwright, Filipazzi, Gongyo, Moraga, Svaldi, and Wang established the corresponding nonnegativity and zero-case characterization in the broader framework of a special class of generalized log Calabi--Yau pairs. Here we give a direct proof in the Fano setting, prove that there is no value strictly between zero and one, and classify all klt Fano varieties with $c_X<2$, without assuming $\mathbb Q$-factoriality. At complexity one, after splitting off projective-space factors, the remaining factor is a normal quadric of Picard number one, a linear blow-up of projective space, or an integral $(1,1)$ hypersurface in a product of projective spaces. If $1<c_X<2$, only two weighted-projective families occur; in particular, no smooth Fano variety has nef complexity strictly between one and two. We also determine the spectrum when the dimension is allowed to vary: \[ \{0\}\cup\left\{2-\frac2q \ \middle| \ q\in\mathbb Z_{\geq2}\right\} \cup(\mathbb Q\cap[2,\infty)). \] Most proofs in this paper were developed from arguments generated by OpenAI's ChatGPT through discussions initiated and guided by the author; see the statement on the use of generative AI.

日本語要約

複素klt Fano多様体の有理total indexとnef complexityを対象とし、非負性と零の場合の既知の特徴づけに続く小さい値を分類する。0と1の間には値が存在せず、1の場合には射影空間因子を除くと二次超曲面、線形部分空間のブローアップ、または積内の双次数(1,1)超曲面になる。1と2の間は二つの重み付き射影空間族に限られ、次元を固定しなければ2以上のすべての有理数が実現する。

Let $X$ be a complex klt Fano variety. We study the rational total index $\tau_X$ and the nef complexity $c_X=\dim X+\rho(X)-\tau_X$. Previous joint work of the author with Enwright, Filipazzi, Gongyo, Moraga, Svaldi, and Wang established the corresponding nonnegativity and zero-case characterization in the broader framework of a special class of generalized log Calabi--Yau pairs. Here we give a direct proof in the Fano setting, prove that there is no value strictly between zero and one, and classify all klt Fano varieties with $c_X<2$, without assuming $\mathbb Q$-factoriality. At complexity one, after splitting off projective-space factors, the remaining factor is a normal quadric of Picard number one, a linear blow-up of projective space, or an integral $(1,1)$ hypersurface in a product of projective spaces. If $1<c_X<2$, only two weighted-projective families occur; in particular, no smooth Fano variety has nef complexity strictly between one and two. We also determine the spectrum when the dimension is allowed to vary: \[ \{0\}\cup\left\{2-\frac2q \ \middle| \ q\in\mathbb Z_{\geq2}\right\} \cup(\mathbb Q\cap[2,\infty)). \] Most proofs in this paper were developed from arguments generated by OpenAI's ChatGPT through discussions initiated and guided by the author; see the statement on the use of generative AI.

反標準因子をnef Cartier因子へ分解する有理total indexから、klt Fano多様体のnef complexityを調べる。Q-factorial性を仮定せず2未満の全例を分類し、次元を動かしたときの値の集合も決定する。

arXiv
2610.27676v1
初回投稿日
2026-10-20
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Fano多様体の反標準因子がどれだけ大きいかを、一本の極小有理曲線ではなく、複数のnef Cartier因子への分解を通じて測る論文である。次元とPicard数の和から有理total indexを差し引いて作るnef complexityは、射影空間の積で零となる。この零から少し離れた領域に、どのような多様体が現れるかを問う。

著者は、複素klt Fano多様体についてQ-factorial性を仮定せず、complexityが2未満の場合を分類すると述べる。0と1の間に値は存在しない。値1では二次超曲面、線形ブローアップ、双次数(1,1)超曲面が残り、1と2の間では二種類の重み付き射影空間が残る。いずれも射影空間との積を許す分類である。

さらに次元を動かした全スペクトルを決定する。小さい領域では離散的な値しか現れない一方、2以上ではすべての有理数が現れる。非負性と零の場合は先行共同研究の結果であり、本論文の新規性はそれを越えた任意次元の分類とスペクトルにある。Introductionは生成AIを用いた研究・検証過程も明記しており、ここでは著者の定理として紹介する。

背景と問題設定

$X$を正の次元の複素klt Fano多様体、$n=\dim X$、$\rho=\rho(X)$とする。$-K_X$はampleな$\mathbb Q$-Cartier因子である。Definition 1.1の不変量は

$$ \tau_X=\sup\left\lbrace \sum_{i=1}^s a_i\quad \middle|\quad -K_X\equiv\sum_{i=1}^s a_iL_i,\ a_i\in\mathbb Q_{>0},\ L_i\text{ はnef Cartier},\ L_i\not\equiv0\right\rbrace ,\qquad c_X=n+\rho-\tau_X $$

である。ここで$\equiv$は数値同値を表す。滑らかでPicard数1なら$\tau_X$はFano指数に一致する。Kobayashi–OchiaiやMukai型の問題との接点は、反標準正値性・次元・Picard数を同時に制御する点にある。

有理曲線の族を多数構成する従来の方法に対し、本論文は反標準因子に現れるnef方向を同時に扱う。先行研究は非負性と零の場合、滑らかな三次元の一部の分類を与えていたが、任意次元で最初の正の値を決めてはいなかった。

主結果

2未満の分類（Theorem 1.2）

$c_X\ge0$であり、$c_X=0$となるのは$X\simeq\prod_j\mathbb P^{d_j}$の場合に限る。また$c_X<1$なら$c_X=0$である。

$c_X=1$の場合、$X\simeq Y\times\prod_j\mathbb P^{d_j}$と書け、$Y$は次のいずれかである。

  • 次元$d\ge2$、Picard数1の正規二次超曲面$Q^d\subset\mathbb P^{d+1}$。
  • $d\ge2$、$0\le\ell\le d-2$に対する$\operatorname{Bl}_{\mathbb P^\ell}\mathbb P^d$。
  • $a,b\ge2$に対する$\mathbb P^a\times\mathbb P^b$内の整な双次数$(1,1)$超曲面。

最後の超曲面は正規・terminal・Gorensteinである。逆に、列挙された多様体とその射影空間との積はcomplexity 1を持つ。

$1<c_X<2$の場合も射影空間因子を除くと、残る$Y$は

$$ Y=\mathbb P(1,1,\underbrace{q,\ldots,q}_{d-1}),\quad d\ge2,\ q\ge3,\quad c_X=2-\frac2q, $$

または

$$ Y=\mathbb P(1,1,1,\underbrace{2,\ldots,2}_{d-2}),\quad d\ge3,\quad c_X=\frac32 $$

に限られる。したがって滑らかなFano多様体には1と2の間の値はない。

全スペクトル（Theorem 1.4、Corollary 1.3）

次元を固定しないとき、値の集合は正確に

$$ \operatorname{Spec}_{\mathrm{klt}}(c)=\lbrace 0\rbrace \cup\left\lbrace 2-\frac2q\quad \middle|\quad q\in\mathbb Z_{\ge2}\right\rbrace \cup\bigl(\mathbb Q\cap[2,\infty)\bigr) $$

となる。2は最初の集積点であり、2以上の任意の有理数はPicard数2のQ-factorial klt Fano多様体で実現する。低complexityの剛性と、それ以後の値の豊富さを分ける結果である。

証明の見取り図

Introductionでは、nef Cartier因子の有限Hilbert基底を使った線形計画により、上限を実現する最適分解を得る。Kawamata–Viehweg消滅を多変数Euler多項式に適用し、格子状の消滅条件を有限差分で数値的制約へ変える。

次に混合交点の正係数の台をLorentzian多項式と離散凸性で整理する。その階数をnef因子の部分和の数値次元、さらに収縮像の次元に結びつける。小さいcomplexityが課す制約から射影空間因子を分離し、少数の有効なnef方向を持つ因子の分類へ帰着する。全スペクトルの後半はPicard数2の具体的構成による。

原論文との対応