複素微分幾何学 · 2026-10-20

Equivariant Moment Maps and the Ricci Cocycle in Weighted Fujiki--Donaldson Theory

任意の重みに対する同変モーメント写像とRicci cocycle

Ryushi Goto

ryushi-goto-3963bu symplectic-contact-geometry curvature chern-classes Curvature geometry 曲率幾何 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Symplectic and contact geometry シンプレクティック・接触幾何 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

Let $(M,\omega)$ be a closed connected symplectic manifold of dimension $2n$,. We discuss weighted Fujiki--Donaldson theory with respect to the measure $d\nu=e^h\omega^n/n! $ for an arbitrary smooth real-valued function $h$ on $M$. We prove that the group generated by the flows of Hamiltonians that Poisson-commute with $h$ always admits an equivariant moment map for its action on the full space of $\omega$-compatible almost complex structures. The moment map takes values in the continuous dual of the Lie algebra. Its density is expressed in terms of the Hermitian scalar curvature, a local weight correction, and an $L^\infty$ function $r_h^0$ constructed from the long-time average of the polar determinant phase. The function $r_h^0$ can be regarded as a Ruelle-type asymptotic density incorporating phase comparison via a connection. The key step in the proof is to represent the Ricci cocycle as the coboundary of a continuous cochain constructed from $r_h^0$. We also consider the action of the exact volume-preserving diffeomorphism group on a connected component of the space of almost complex structures inducing the given orientation on a closed connected oriented manifold of real dimension $2n$. In contrast to the weighted Hamiltonian setting, we prove that, for $n>1$, this action admits an equivariant moment map if and only if the real first Chern class vanishes.

日本語要約

重み付きFujiki–Donaldson理論で、重みのHamiltonian流に不変な構造へ制限せずにモーメント写像を構成する。極分解の行列式位相の長時間平均を補正項に使い、Ricci cocycleを連続コチェインのコバウンダリとして表すことで同変性の障害を取り除く。別に、完全体積保存微分同相群の概複素構造空間への作用を扱い、実次元4以上では実第一Chern類が零であることと同変モーメント写像の存在が同値と示す。

Let $(M,\omega)$ be a closed connected symplectic manifold of dimension $2n$,. We discuss weighted Fujiki--Donaldson theory with respect to the measure $d\nu=e^h\omega^n/n! $ for an arbitrary smooth real-valued function $h$ on $M$. We prove that the group generated by the flows of Hamiltonians that Poisson-commute with $h$ always admits an equivariant moment map for its action on the full space of $\omega$-compatible almost complex structures. The moment map takes values in the continuous dual of the Lie algebra. Its density is expressed in terms of the Hermitian scalar curvature, a local weight correction, and an $L^\infty$ function $r_h^0$ constructed from the long-time average of the polar determinant phase. The function $r_h^0$ can be regarded as a Ruelle-type asymptotic density incorporating phase comparison via a connection. The key step in the proof is to represent the Ricci cocycle as the coboundary of a continuous cochain constructed from $r_h^0$. We also consider the action of the exact volume-preserving diffeomorphism group on a connected component of the space of almost complex structures inducing the given orientation on a closed connected oriented manifold of real dimension $2n$. In contrast to the weighted Hamiltonian setting, we prove that, for $n>1$, this action admits an equivariant moment map if and only if the real first Chern class vanishes.

閉シンプレクティック多様体上で、任意の滑らかな重みとPoisson可換なHamiltonian群の作用に同変モーメント写像を構成する。適合した概複素構造の存在を仮定せず、長時間位相平均によるL∞補正を用いる一方、完全体積保存群の別の作用では実第一Chern類の消滅が必要十分条件となる。

arXiv
2610.24543v1
初回投稿日
2026-10-17
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Fujiki–Donaldson理論では、概複素構造の空間に対するHamiltonian群の作用のモーメント写像がHermitianスカラー曲率で記述される。測度に重みを付けると、従来はその重みのHamiltonian流に不変な概複素構造へ制限することが重要であった。

本論文は、任意の滑らかな重みに対して、そのような不変構造が存在することさえ仮定せず、全ての整合的概複素構造の空間上で同変モーメント写像を構成する。密度には長時間の行列式位相平均から得られる補正が入り、その正則性は$L^\infty$までである。

これと対照的に、完全体積保存微分同相群の別の作用では、実次元4以上で実第一Chern類の消滅が必要十分となる。二つの定理は作用する群と構造の空間が異なり、同じ作用について矛盾する条件を述べているわけではない。

背景と問題設定

$(M^{2n},\omega)$を閉連結シンプレクティック多様体、$h$を任意の滑らかな実関数とし、$d\nu=e^h\omega^n/n!$とおく。Hamiltonianベクトル場の規約を$\iota_{X_f}\omega=-df$、$\lbrace f,g\rbrace =X_f(g)$とする。対象のLie代数は $$ \mathfrak g_h=\left\lbrace f\in C^\infty(M,\mathbb R):\lbrace h,f\rbrace =0,\ \int_M f\thinspace d\nu=0\right\rbrace $$ であり、その時間依存Hamiltonian流が生成する群を$G_h$とする。

$\omega$と整合的な概複素構造の空間$\mathcal A(M,\omega)$には $$ \Omega_{h,J}(A,B)=\frac12\int_M\operatorname{tr}(JAB)\thinspace d\nu $$ がある。$\mathcal L_{X_h}J=0$となる構造をadaptedと呼ぶが、本論文の作用空間はその部分集合に限定されない。

主結果

任意の重みでの存在（Theorem 1.1）

任意の$h$について、$G_h$の作用は連続双対$\mathfrak g_h'$に値を取る同変モーメント写像を持つ。具体的には $$ \langle\mu_h(J),f\rangle=\int_M f\left(S_J-\Delta_Jh-|dh|_{g_J}^2-2r_h^0(J)\right)d\nu $$ と取れる。$g_J=\omega(\cdot,J\cdot)$、$\Delta_J=\operatorname{div}_{g_J}\operatorname{grad}_{g_J}$、$S_J=2\Lambda_\omega\rho_J$はHermitianスカラー曲率である。$r_h^0(J)\in L^\infty(M,d\nu)$は、標準行列式接続を基準に測る極分解の行列式位相の長時間平均である。

各$f$とのpairingは$J$について滑らかで、$\varphi\in G_h$に対して $$ \langle\mu_h(\varphi^*J),f\rangle=\langle\mu_h(J),f\circ\varphi^{-1}\rangle $$ を満たす。$c_1(M)=0$や$c_1(M)\in\mathbb R[\omega]$は仮定しない。ただし密度そのものが滑らかであるとは主張しない。

adaptedな$J$では$r_h^0(J)=\frac12\Delta_Jh$となり、密度は$S_J-2\Delta_Jh-|dh|_{g_J}^2$に戻る。一方、奇数Morse指数の臨界点を持つMorse関数$h$ではadaptedな構造が存在しないと論文は示し、その場合にも主定理が適用される。

完全体積保存群ではChern類が障害となる（Theorem 1.2）

今度は$M^{2n}$を正の体積形式$\nu$を持つ閉連結有向多様体とし、 $$ \mathfrak g_{\mathrm{ex},\nu}=\lbrace v\in\Gamma(TM):\iota_v\nu\text{ is exact}\rbrace $$ の流が生成する群を考える。与えられた向きを誘導する概複素構造の空間の連結成分$\mathcal J_*$上で、$n>1$なら同変モーメント写像が存在するための必要十分条件は $$ c_1(TM,J)=0\quad\text{in }H^2(M;\mathbb R) $$ である。これは成分内の一つの$J$で成立すれば全てで成立する。この場合、$d\alpha_v=\iota_v\nu$を選び、 $$ \langle\mu_{\mathrm{ex}}(J),v\rangle=-2\int_M\operatorname{Ric}_{\nu,J}\wedge\alpha_v $$ と取れる。既知の十分性に対して必要性を加える結果である。

証明の見取り図

長時間位相のほぼ加法性とKingmanの劣加法エルゴード定理から$r_h^0$を得る。次に可換Hamiltonian流が作る長方形に沿って比較し、Ricci cocycle $$ C_{\rho_J,h}(f,g)=\int_M\rho_J(X_f,X_g)\thinspace d\nu $$ を連続コバウンダリとして表す。これが同変性の障害を除く。

さらに概複素構造の経路に沿う有限変動の公式を示し、長時間極限と微分を無条件に交換することなくモーメント写像の微分恒等式を得る。完全体積保存群の場合は、連続Lie代数コホモロジーの既存の計算を使って必要性を導く。

滑らかな代表密度を常に取れるか、また動機となった一般化Kählerの設定でも同様の構成が可能かは、IntroductionのProblems 1.3、1.4として残されている。

原論文との対応