多変数複素解析 · 2026-10-12

Chern classes of Levi non-degenerate CR manifolds

Levi非退化CR多様体におけるChern単項式の非消滅

Yuya Takeuchi

yuya-takeuchi-jp1f6b chern-classes cr-geometry Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 CR geometry CR幾何 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

We construct closed Levi non-degenerate CR manifolds with non-vanishing Chern monomials. For every $n \geq 2$ and $\lceil n / 4 \rceil \leq m \leq \lfloor n / 2 \rfloor$, there exists a $(2 n + 1)$-dimensional example of signature $(\lfloor n / 2 \rfloor, \lceil n / 2 \rceil)$ on which all Chern monomials with positive indices at most $m$ and total weight at most $n - m$ are non-zero in cohomology with real coefficients. Taking $m = \lceil n / 4 \rceil$ gives examples with $c_{1}^{\lfloor 3 n / 4 \rfloor} \neq 0$. For $n = 4$ or $n \geq 6$, the latter examples show that the Chern-class vanishing theorem for strictly pseudoconvex CR manifolds does not extend to the Levi non-degenerate case. In these dimensions, their underlying manifolds admit no strictly pseudoconvex CR structures. The construction uses circle bundles over products of integral pseudo-K\"{a}hler manifolds.

日本語要約

Levi形式が非退化であっても正定値とは限らないCR多様体では、強擬凸の場合に消えるChern単項式が非零となり得る。本論文は、次元とChern類の添字に明示的な範囲を指定し、その範囲の単項式を一つの閉CR多様体上で同時に非消滅にする。積分pseudo-Kähler形式を持つ基底の円束を用い、Gysin完全列で引き戻し後の非消滅を検出する。第一Chern類の高い冪の例は、強擬凸CR構造の存在への位相的障害となる。

We construct closed Levi non-degenerate CR manifolds with non-vanishing Chern monomials. For every $n \geq 2$ and $\lceil n / 4 \rceil \leq m \leq \lfloor n / 2 \rfloor$, there exists a $(2 n + 1)$-dimensional example of signature $(\lfloor n / 2 \rfloor, \lceil n / 2 \rceil)$ on which all Chern monomials with positive indices at most $m$ and total weight at most $n - m$ are non-zero in cohomology with real coefficients. Taking $m = \lceil n / 4 \rceil$ gives examples with $c_{1}^{\lfloor 3 n / 4 \rfloor} \neq 0$. For $n = 4$ or $n \geq 6$, the latter examples show that the Chern-class vanishing theorem for strictly pseudoconvex CR manifolds does not extend to the Levi non-degenerate case. In these dimensions, their underlying manifolds admit no strictly pseudoconvex CR structures. The construction uses circle bundles over products of integral pseudo-K\"{a}hler manifolds.

閉Levi非退化CR多様体で、多数のChern単項式が同時に非零になる例を構成する。強擬凸の場合の消滅定理との比較により、一定の次元では同じ滑らかな多様体上に強擬凸CR構造が存在しないことも分かる。

arXiv
2610.12785v1
初回投稿日
2026-10-08
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
several-complex-variables 2026

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書誌情報

要約

強擬凸CR多様体は複素多様体内の強擬凸領域の境界として現れ、その実現はコホモロジーの積やChern類に制約を与える。本論文が問うのは、Levi形式の正定値性を非退化性へ弱めても同じ消滅が残るか、という問題である。

答えは一般には否定的である。著者は、指定した範囲のChern単項式が一つの閉Levi非退化CR多様体上で同時に非零となる例を作る。単一の特性数だけでなく、添字と総重みによって指定される一群のコホモロジー類を扱う点が主結果の特徴である。

特に第一Chern類の高い冪が非零になる例を得る。一定の次元では、この非消滅は強擬凸CR構造の一般的な位相制約と両立しない。そのため、構成したCR構造が強擬凸でないだけでなく、台の滑らかな多様体上の別の強擬凸CR構造も排除できる。

背景と問題設定

実次元 $2n+1\ge5$ の閉強擬凸CR多様体 $(M,T^{1,0}M)$ では、先行研究により

$$ c_{r_1}(T^{1,0}M)\smile\cdots\smile c_{r_k}(T^{1,0}M)=0 \qquad\text{if }2(r_1+\cdots+r_k)\ge n+2 $$

が実係数コホモロジーで成り立つ。また $i_l\le n-1$、$i_1+\cdots+i_k\ge n+2$ のとき、$H^{i_1}(M;\mathbb R)\otimes\cdots\otimes H^{i_k}(M;\mathbb R)$ からのcup積も消える。前者は著者の既知の結果、後者はBungartおよびPopescu-Pampuの結果として紹介されている。

本論文はLevi形式が正負両方の固有値を持つ場合を調べる。正整数の多重添字 $r=(r_1,\ldots,r_k)$ に対して、$|r|=r_1+\cdots+r_k$ を総重みとする。

主結果

主定理1：Chern単項式の同時非消滅（Theorem 1.1）

$n\ge2$ と $\lceil n/4\rceil\le m\le\lfloor n/2\rfloor$ を固定する。このとき、実次元 $2n+1$、Levi形式の符号数 $(\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil)$ の閉Levi非退化CR多様体 $(S,T^{1,0}S)$ で、

$$ c_{r_1}(T^{1,0}S)\smile\cdots\smile c_{r_k}(T^{1,0}S) \ne0\quad\text{in }H^{2|r|}(S;\mathbb R) $$

となるものが存在する。ここで $k\ge1$、$1\le r_i\le m$、$|r|\le n-m$ を満たすすべての添字を同時に許す。単項式ごとに異なる例を選ぶのではなく、一つの多様体で全条件が成り立つ。

主帰結：第一Chern類の高い冪（Corollary 1.2）

各 $n\ge2$ に対し、上と同じ次元・符号数を持ち、

$$ c_1(T^{1,0}S)^{\lfloor3n/4\rfloor}\ne0 \quad\text{in }H^{2\lfloor3n/4\rfloor}(S;\mathbb R) $$

となる例が存在する。これは $m=\lceil n/4\rceil$ とし、すべての添字を1に選んで得られる。対応する $H^2(S;\mathbb R)^{\otimes\lfloor3n/4\rfloor}$ のcup積も非自明である。

$n=4$ または $n\ge6$ では $2\lfloor3n/4\rfloor\ge n+2$ であるため、強擬凸の場合の消滅定理はLevi非退化の場合へ拡張できない。さらにcup積の非消滅は台の多様体だけに依存するので、この次元範囲の例には強擬凸CR構造が存在しない。Introductionは、同値な言い方として正則に充填可能な接触構造の不存在も述べる。

証明の見取り図

積分pseudo-Kähler多様体上の円束を構成し、そのCR接束を基底の正則接束の引き戻しとして扱う。基底で非零のChern類も円束へ引き戻すと消える可能性があるため、Gysin完全列によって消滅の可能性を制御する。

具体的には、基底の閉実 $(m,m)$ 形式 $\alpha$ を選び、その類が $[\omega]$ による積で消える一方、対象のChern単項式と適当な第一Chern類の冪には非零に対合するようにする。これが全空間での非消滅を検出する役割を持つ。

基底は複素次元2・3・4の三種類の構成要素の積である。3次元と4次元の要素には、それぞれ複素トーラスとnilmanifold上の射影束を用いる。Introductionは、円束と判定法をSection 2、射影束をSection 3、構成要素をSection 4、その組合せをSection 5で扱うと説明する。

原論文との対応

  • Abstractページ: Chern classes of Levi non-degenerate CR manifolds
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–2
  • Introduction中で言及された主要結果: Theorem 1.1, Corollary 1.2
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2610.12785v1
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction