代数幾何学 · 2026-10-02

Supermoduli spaces are non-projected in every genus $g\geq 3$

全ての種数3以上におけるsupermoduli空間の非射影性

Mauricio Corrêa, Ron Donagi, Simone Noja

mauricio-correa-vsfxnv ron-donagi-1pvfovs simone-noja-1wu9us2 moduli Moduli and families モジュライ・族

arXiv Abstract

We prove that, for every genus $g\geq 3$, the primary obstruction of each parity component of the moduli superstack of smooth unpunctured super Riemann surfaces is nonzero, both algebraically and holomorphically. Consequently, both components are non-projected and, in particular, non-split: neither admits an algebraic or holomorphic retraction onto its reduced moduli stack of spin curves.

日本語要約

種数$g\ge3$の滑らかな非点付きsuper Riemann surfaceのmoduli superstackで、even・odd双方のspin parity成分のprimary obstructionが代数的にも正則的にも非零であることを証明する。その結果、古典的spin curveのmoduli stackへのretractionは存在せず、各成分はnon-projectedかつnon-splitとなる。種数2ではsplitであるため、閾値はsharpである。

We prove that, for every genus $g\geq 3$, the primary obstruction of each parity component of the moduli superstack of smooth unpunctured super Riemann surfaces is nonzero, both algebraically and holomorphically. Consequently, both components are non-projected and, in particular, non-split: neither admits an algebraic or holomorphic retraction onto its reduced moduli stack of spin curves.

種数$g\ge3$の滑らかな非点付きsuper Riemann surfaceのmoduli superstackについて、両spin parity成分のprimary obstructionが代数的にも正則的にも非零であることを示す。従って両成分はnon-projectedかつnon-splitであり、種数3・4の未解決の場合も含めて閾値を確定する。

arXiv
2610.00490v1
初回投稿日
2026-09-30
原論文のライセンス
Creative Commons Attribution 4.0 International
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

super Riemann surfaceのmoduliは局所的な変形が非障害的でも、reduced spaceであるspin curveのmoduliから大域的に分離できるとは限らない。本論文はこの失敗を測るprimary obstructionが、種数3以上の両parity成分で非零であることを証明する。

これにより従来残っていた種数3とodd genus 4を含め、全ての$g\ge3$でnon-projectednessとnon-splitnessが成立する。種数2の両成分はsplitなので閾値はsharpである。

背景と問題設定

$\mathfrak M_g^\varepsilon$のreductionを$\mathcal S_g^\varepsilon$とすると、射影の存在には

$$\omega_2(\mathfrak M_g^\varepsilon)\in H^1!\left(\mathcal S_g^\varepsilon,\operatorname{Hom}(\wedge^2T_-,T_+)\right)$$

の消滅が必要である。この類はodd変数に関する二次の遷移項を大域的に除去できない障害を表す。

主結果

主定理（Theorem 1.1）

全ての$g\ge3$と$\varepsilon=+,-$について、

$$\omega^{\mathrm{alg}}_2(\mathfrak M_g^\varepsilon)\ne0,\qquad \omega^{\mathrm{hol}}_2((\mathfrak M_g^\varepsilon)^{\mathrm{an}})\ne0.$$

従って滑らかな非点付きsupermoduliの両成分は代数的にも正則的にもnon-projectedであり、特にnon-splitである。

証明の見取り図

種数$g-1$のcoreにelliptic tailをNeveu–Schwarz nodeで付けた境界族で非零classを検出する。normal directionを保つformal smoothingを構成し、Laurent係数の議論で非零性がpunctured neighborhoodでも消えないことを示す。最後に代数的非零性をcodimension twoを越えて延長し、spin-level compactificationとGAGA型比較により正則的非零性へ移す。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2610.00490
  • Introduction: Section 1
  • Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
  • source_scope: Abstract and Introduction