代数幾何学 · 2026-09-28
Uniform Turán estimates and sharp bounds for degree and mixed orbit growth
一様Turán評価と次数・混合軌道増大度の鋭い上界 Fei Hu, Chen Jiang fei-hu-h28akm chen-jiang-1yixxku hodge-theory Hodge theory ホッジ理論arXiv Abstract
The degrees of the iterates of a projective endomorphism grow in two layers: an exponential rate measured by the dynamical degrees, and a polynomial correction carried by the peripheral Jordan blocks. Log-concavity constrains the first layer; we show that the Hodge index theorem already constrains the second, in every codimension and in arbitrary characteristic. Let $f$ be a surjective endomorphism of a normal projective $d$-fold over an algebraically closed field, with dynamical degrees $λ_i$, so that $\textrm{deg}_i(f^n)\asympλ_i^n n^{μ_i}$ for a unique integer $μ_i\ge0$. We prove that these exponents are coupled across three adjacent codimensions: strict log-concavity of $(λ_i)_i$ at $i$ forces $μ_i=0$, while equality gives \[ 0\ \le\ 2μ_i-μ_{i-1}-μ_{i+1}\ \le\ 4 . \] Consequently, $μ_i\le2i(d-i)$, and this is sharp for every $i$. For a zero-entropy automorphism, we prove that every mixed orbit function indexed by any weak composition $γ$ of $d$ is a multivariate quasipolynomial of even total degree at most $d^2-\sum_jγ_j^2$. For a zero-entropy holomorphic automorphism $g$ of a compact Kähler $d$-fold $Y$, the same method gives \[\left\|(g^n)^*|_{H^{p,q}(Y,\mathbb{C})}\right\| =O\bigl(n^{p(d-p)+q(d-q)}\bigr).\] Powers of elliptic curves attain all exponent bounds as well as the constant $4$.
日本語要約
射影自己写像の反復次数は、力学的次数が与える指数的増大と、周辺Jordan blockが与える多項式補正の二層からなる。Hodge index theoremが任意余次元・任意標数で後者も制約することを示す。隣接する三つの余次元の多項式指数について、力学的次数の対数凹性が狭義なら中央の指数は零となり、等号なら離散Laplacianは0以上4以下である。零エントロピー自己同型について混合軌道関数は偶数全次数の多変数準多項式となり、コンパクトKähler多様体のHodgeコホモロジー上の作用にも鋭い多項式上界を得る。
The degrees of the iterates of a projective endomorphism grow in two layers: an exponential rate measured by the dynamical degrees, and a polynomial correction carried by the peripheral Jordan blocks. Log-concavity constrains the first layer; we show that the Hodge index theorem already constrains the second, in every codimension and in arbitrary characteristic. Let $f$ be a surjective endomorphism of a normal projective $d$-fold over an algebraically closed field, with dynamical degrees $λ_i$, so that $\textrm{deg}_i(f^n)\asympλ_i^n n^{μ_i}$ for a unique integer $μ_i\ge0$. We prove that these exponents are coupled across three adjacent codimensions: strict log-concavity of $(λ_i)_i$ at $i$ forces $μ_i=0$, while equality gives \[ 0\ \le\ 2μ_i-μ_{i-1}-μ_{i+1}\ \le\ 4 . \] Consequently, $μ_i\le2i(d-i)$, and this is sharp for every $i$. For a zero-entropy automorphism, we prove that every mixed orbit function indexed by any weak composition $γ$ of $d$ is a multivariate quasipolynomial of even total degree at most $d^2-\sum_jγ_j^2$. For a zero-entropy holomorphic automorphism $g$ of a compact Kähler $d$-fold $Y$, the same method gives \[\left\|(g^n)^*|_{H^{p,q}(Y,\mathbb{C})}\right\| =O\bigl(n^{p(d-p)+q(d-q)}\bigr).\] Powers of elliptic curves attain all exponent bounds as well as the constant $4$.
射影自己写像の反復次数に現れる指数増大度だけでなく、周辺Jordan blockが担う多項式補正をHodge index型不等式で制御する。隣接する余次元の多項式指数に鋭い離散Laplacian上界を与え、零エントロピーの場合には混合軌道関数の準多項式性とKähler多様体のHodgeコホモロジー上の鋭い増大度評価を得る。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.29877
- 著者: Fei Hu, Chen Jiang
- 初回投稿日: 2026年9月24日
- 最終更新日: 2026年9月24日
- 主分類・副分類: math.AG, math.DS
- ライセンス: CC BY 4.0
要約
正規射影多様体の全射自己写像 $f$ の反復次数は、力学的次数 $\lambda_i$ による指数因子と、周辺スペクトルのJordan blockに由来する多項式因子に分かれる。力学的次数の対数凹性は古典的だが、多項式補正を全余次元で同時に拘束する一般則は知られていなかった。
著者らはdynamical Hodge–Lorentz packageと一様Turán評価を導入し、隣接する三つの余次元の多項式増大指数 $\mu_i$ の離散Laplacianが高々4であることを証明する。力学的次数の対数凹性が狭義となる位置では $\mu_i=0$、等号となる区間では $\mu_i\leq2i(d-i)$ 型の鋭い上界が得られる。
さらに零エントロピー自己同型では、任意の混合軌道交叉数が多変数準多項式になり、その全次数も鋭く制御される。複素Kähler多様体へ移すと、任意のHodge成分上の作用について従来評価を改善する多項式上界となり、楕円曲線の冪が全ての指数上界と定数4の鋭さを実現する。
背景と問題設定
$X$ を代数閉体上の $d$ 次元正規射影多様体、$f:X\to X$ を全射自己写像とする。ample Cartier因子 $H$ により
$$ \deg_i(f^n)=(f^n)^*H^i\cdot H^{d-i} $$
を定める。$i$ 次力学的次数 $\lambda_i(f)$ はこの列の指数増大率であり、$f^*$ の絶対値 $\lambda_i$ の固有値に属する最大Jordan blockの大きさを $\mu_i+1$ とする。このとき
$$ \deg_i(f^n)\asymp\lambda_i(f)^n n^{\mu_i} $$
となる。Khovanskii–Teissier不等式は $\lambda_i^2\geq\lambda_{i-1}\lambda_{i+1}$ を与えるが、問題は同じHodge理論が $\mu_i$ をどこまで制御するかである。
主結果
周辺多項式増大（Theorem 1.2）
$1\leq i\leq d-1$ とする。対数凹性が狭義、すなわち
$$ \lambda_i(f)^2>\lambda_{i-1}(f)\lambda_{i+1}(f) $$
なら $\mu_i=0$ である。等号の場合には
$$ 0\leq 2\mu_i-\mu_{i-1}-\mu_{i+1}\leq4 $$
が成り立つ。その結果、$(\log\lambda_i)$ の極大affine区間 $[r,s]$ 上で
$$ \mu_i\leq2(i-r)(s-i), $$
特に全ての $i$ について $\mu_i\leq2i(d-i)$ を得る。
零エントロピーの混合軌道増大（Theorem 1.7）
$f$ が零エントロピー自己同型で、$\gamma=(\gamma_1,\ldots,\gamma_d)$ が $d$ のweak compositionであるとする。ample因子 $H_j$ による混合軌道関数
$$ \Phi_{f,\gamma,H}(n_1,\ldots,n_d)= \prod_{j=1}^d\bigl((f^{n_j})^*H_j\bigr)^{\gamma_j} $$
は多変数準多項式であり、各構成多項式の全次数は偶数で
$$ \deg_{\mathrm{tot}}\Phi_{f,\gamma,H} \leq d^2-\sum_j\gamma_j^2 $$
を満たす。
Kähler多様体のHodge成分（Corollary 1.5）
$Y$ を $d$ 次元コンパクトKähler多様体、$g$ を零位相エントロピーの正則自己同型とすると、全ての $0\leq p,q\leq d$ について
$$ \left|(g^n)^*|_{H^{p,q}(Y,\mathbb C)}\right| =O!\left(n^{p(d-p)+q(d-q)}\right) $$
が成り立つ。同値に、対応するJordan blockの大きさは $p(d-p)+q(d-q)+1$ 以下である。
証明の見取り図
交叉形式と正錐、自己写像の作用をdynamical Hodge–Lorentz packageとして抽象化し、Jordan–Chevalley分解とLorentz型Ptolemy不等式を整備する。初期錐ベクトルを冪零方向へ摂動することで、軌道時刻に依存しない混合Turán上界を得る。
零エントロピーでは有限反復後の作用がunipotentとなる。対角平行移動不変性と錐の正値性から全次数の偶奇を制御し、Euler–Turán恒等式とtransfer graph上の最大値原理によって次数上界を導く。一般の指数的・多項式的増大については、同じTurán式の下界と一様上界を比較し、狭義対数凹点での半単純性と離散Laplacian上界4を得る。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.29877
- Introduction: Section 1, pp. 1–6
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.2, Corollaries 1.3 and 1.5, Theorem 1.7
- 論文構成の説明: Section 1.3, p. 6
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: CC BY 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction