代数幾何学 · 2026-09-25

Uniruledness and the sign of total scalar curvature

単線織性と全スカラー曲率の符号

Zehao Sha, Jian Wang

zehao-sha-v6bi8q jian-wang-6gss4m positivity curvature toric-geometry Positivity 正値性 Curvature geometry 曲率幾何 Toric geometry トーリック幾何

arXiv Abstract

For every integer $n\ge3$, we construct a smooth projective manifold $X$ of complex dimension $n$ whose canonical bundle is not pseudoeffective, or equivalently, which is uniruled, but every Kähler metric has negative total scalar curvature. In particular, $X$ admits no Kähler metric of positive scalar curvature, while it admits a Riemannian metric of positive scalar curvature. Thus the equivalence between uniruledness and the existence of a Kähler metric with positive scalar curvature holds in complex dimensions one and two, but fails in higher dimensions.

日本語要約

各複素次元 $n\geq3$ で、標準束が擬有効でなく、したがって単線織である一方、全てのKähler計量の全スカラー曲率が負となる滑らかな射影多様体を構成する。この多様体は正スカラー曲率のKähler計量をもたないが、基礎となる滑らかな多様体は正スカラー曲率のRiemann計量をもつ。

For every integer $n\ge3$, we construct a smooth projective manifold $X$ of complex dimension $n$ whose canonical bundle is not pseudoeffective, or equivalently, which is uniruled, but every Kähler metric has negative total scalar curvature. In particular, $X$ admits no Kähler metric of positive scalar curvature, while it admits a Riemannian metric of positive scalar curvature. Thus the equivalence between uniruledness and the existence of a Kähler metric with positive scalar curvature holds in complex dimensions one and two, but fails in higher dimensions.

複素次元 $n\geq3$ ごとに、単線織でありながら全てのKähler計量の全スカラー曲率が負となる滑らかな射影多様体を構成する。単線織性と正の全スカラー曲率をもつKähler計量の存在が同値だという予想への反例であり、Kähler計量と一般のRiemann計量の正スカラー曲率も分離する。

arXiv
2609.26640v1
初回投稿日
2026-09-22
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

射影多様体では、標準束が擬有効でないことと単線織性が同値である。他方、Kähler計量の全スカラー曲率は第一Chern類とKähler類の交点数で決まり、正なら単線織性を導く。自然な逆問題は、単線織なら正の全スカラー曲率をもつKähler計量が存在するか、というものである。

曲線と曲面ではこの対応が成立するが、本論文は複素次元3以上で反例を構成する。例では $K_X$ は擬有効でないにもかかわらず、全Kähler類 $\alpha$ に対して $K_X\cdot\alpha^{n-1}>0$ となる。

したがって全てのKähler計量の全スカラー曲率が負であり、点ごとに非負なスカラー曲率をもつKähler計量も存在しない。それでも一般のRiemann計量には正スカラー曲率を実現でき、複素幾何的制約と滑らかな幾何の差も示される。

背景と問題設定

コンパクトKähler $n$-foldでは

$$ \int_X S(\omega)\omega^n =2\pi n,c_1(X)\cdot\alpha^{n-1} =-2\pi n,K_X\cdot\alpha^{n-1} $$

である。従って正の全スカラー曲率は $K_X$ の非擬有効性を導く。本論文はYangの予想として定式化された逆向きを否定する。

主結果

高次元の反例（Theorem 1.2）

任意の整数 $n\geq3$ に対し、滑らかな射影 $n$-fold $X$ で次を満たすものが存在する。

  1. $K_X\notin\operatorname{Psef}(X)$、同値に $X$ は単線織である。
  2. 全ての $\alpha\in\operatorname{Kah}(X)$ に対して $K_X\cdot\alpha^{n-1}>0$ である。
  3. $X$ は正スカラー曲率のRiemann計量をもつ。

特に (2) により、$X$ は非負スカラー曲率のKähler計量をもたない。

証明の見取り図

複素次元3では、条件を満たす滑らかな射影toric 3-foldから、単純正規交差する4本の因子に沿う次数27のabelian coverを構成する。Kummer理論と固有層分解で滑らかさ、コホモロジー、標準類の交点条件を制御する。高次元例はIntroductionが述べる拡張操作から得られ、正スカラー曲率Riemann計量は構成の位相的性質と既知の手法を組み合わせて示される。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.26640
  • Introduction: Section 1, pp. 1–2
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.2
  • 確認したarXivバージョン: 2609.26640v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction