代数幾何学 · 2026-09-22
On the gap between the integral and rational Gongyo indices of toric Fano varieties
トーリックFano多様体の整数・有理Gongyo指数の隔たり Hiroshi Sato hiroshi-sato-1j89cai fano-varieties toric-geometry positivity minimal-model-program Minimal model program 極小モデル・プログラム Positivity 正値性 Fano varieties ファノ多様体 Toric geometry トーリック幾何arXiv Abstract
Exact calculations for smooth toric Fano varieties in dimensions at most seven suggest a sharp dimension-dependent lower bound for the positive difference between the rational and integral Gongyo indices. We compute both indices for the smooth toric Fano models obtained from blow-ups of projective space at torus-invariant points by the anticanonical minimal model program. For pseudo-symmetric smooth toric Fano varieties, we prove the proposed lower bound and determine all equality cases. We also apply a dimension-raising construction to obtain an explicit infinite family of smooth toric Fano varieties with positive gap from odd-dimensional weak Fano varieties with zero gap. For the standard models considered, we determine the smallest dimension increase needed to obtain a Fano variety by iterating this construction and compute both indices of the minimal lifts. Finally, every positive rational number occurs as a Gongyo-index gap, even within the pseudo-symmetric class.
日本語要約
滑らかなトーリックFano多様体の反標準類を非零nef整因子類へ分解するとき、係数を整数または有理数に制限して得る二つのGongyo指数を比較する。擬対称クラスでは正の差の次元依存下界を証明して等号例を決定し、次元上昇構成から正の差を持つ無限族を与える。さらに任意の正有理数が擬対称トーリックFano多様体の指数差として現れる。
Exact calculations for smooth toric Fano varieties in dimensions at most seven suggest a sharp dimension-dependent lower bound for the positive difference between the rational and integral Gongyo indices. We compute both indices for the smooth toric Fano models obtained from blow-ups of projective space at torus-invariant points by the anticanonical minimal model program. For pseudo-symmetric smooth toric Fano varieties, we prove the proposed lower bound and determine all equality cases. We also apply a dimension-raising construction to obtain an explicit infinite family of smooth toric Fano varieties with positive gap from odd-dimensional weak Fano varieties with zero gap. For the standard models considered, we determine the smallest dimension increase needed to obtain a Fano variety by iterating this construction and compute both indices of the minimal lifts. Finally, every positive rational number occurs as a Gongyo-index gap, even within the pseudo-symmetric class.
トーリックFano多様体の反標準類のnef分解について、整数係数と有理係数で定まるGongyo指数の差を調べる。擬対称な場合に差の下界を証明して等号例を決定し、任意の正有理数が差として実現されることを示す。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.22997
- 著者: Hiroshi Sato
- 初回投稿日: 2026-09-19
- 最終更新日: 2026-09-19
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
トーリックFano多様体の反標準類のnef分解について、整数係数と有理係数で定まるGongyo指数の差を調べる。擬対称な場合に差の下界を証明して等号例を決定し、任意の正有理数が差として実現されることを示す。
滑らかなトーリックFano多様体の反標準類を非零nef整因子類へ分解するとき、係数を整数または有理数に制限して得る二つのGongyo指数を比較する。擬対称クラスでは正の差の次元依存下界を証明して等号例を決定し、次元上昇構成から正の差を持つ無限族を与える。さらに任意の正有理数が擬対称トーリックFano多様体の指数差として現れる。
主結果の仮定と結論を区別し、以下ではAbstractとIntroductionに明記された範囲だけを扱う。後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
Gongyo指数は反標準類を非零nef整因子類の和としてどれだけ長く分解できるかを測る。有理係数を許す指数は整数版以上だが、両者が一致しないFano多様体が知られる。本論文はその差をnef半群のHilbert基底とトーリック分類を通して調べる。
主結果
予想と擬対称クラスでの主結果（Conjecture 1.1 / Theorem 6.3）
$d\ge4$ 次元の滑らかなトーリックFano多様体 $X$ で差が正なら
$$\tau_X(\mathbb Q)-\tau_X(\mathbb Z)\ge \frac1{\lfloor d/2\rfloor}$$
と予想する。論文は擬対称な滑らかなトーリックFano多様体についてこれを証明し、等号例を決定する。下界はすべての $d\ge4$ で達成される。
実現結果
積に関する加法性とdel Pezzo型因子の公式から、任意の正有理数が擬対称クラスのGongyo指数差として実現される。
証明の見取り図
nef半群のHilbert基底を用いて整数指数を整数線形計画、有理指数をその有理緩和として記述する。一般化Bott多様体、Picard数の小さい場合、反標準MMPから得る標準モデルを順に計算し、次元上昇構成とEwald分解、積加法性を組み合わせる。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.22997
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Conjecture 1.1; Theorems 5.12, 5.14, 6.3
- 確認したarXivバージョン: 2609.22997v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction