代数幾何学 · 2026-09-18

Dense entire curves in Rationally Connected manifolds

有理連結多様体上の稠密整曲線

Frederic Campana, Joerg Winkelmann

frederic-campana-12eqm3m joerg-winkelmann-udc632 hyperbolicity birational-geometry Birational geometry 双有理幾何 Hyperbolicity 双曲性

arXiv Abstract

We show the existence of metrically dense entire curves in rationally connected complex projective manifolds confirming for this case a conjecture according to which such entire curves on projective manifolds exist if and only if these are "special". We also show that such a dense entire curve may be chosen in such a way that it does not lift to any of its ramified covers, answering in this case a question of Corvaja and Zannier about the Nevanlinna analog of the `weak Hilbert property' of arithmetic geometry. We consider briefly the other test case of the conjecture, namely manifolds with $c_1=0$. Furthermore we discuss entire curves in normal rational surfaces avoiding the singular locus.

日本語要約

有理連結複素射影多様体には計量的に稠密な整曲線が存在することを証明する。曲線を分岐被覆へ持ち上がらないよう選べること、正規有理曲面では特異点を避けられる場合があることも示す。

We show the existence of metrically dense entire curves in rationally connected complex projective manifolds confirming for this case a conjecture according to which such entire curves on projective manifolds exist if and only if these are "special". We also show that such a dense entire curve may be chosen in such a way that it does not lift to any of its ramified covers, answering in this case a question of Corvaja and Zannier about the Nevanlinna analog of the `weak Hilbert property' of arithmetic geometry. We consider briefly the other test case of the conjecture, namely manifolds with $c_1=0$. Furthermore we discuss entire curves in normal rational surfaces avoiding the singular locus.

任意の有理連結複素射影多様体に計量的に稠密な整曲線が存在することを示し、特殊多様体と整曲線の存在を結ぶ予想をこの場合に確認する。さらに分岐被覆へ持ち上がらない整曲線を構成し、Nevanlinna理論版weak Hilbert propertyにも答える。

arXiv
1905.01104v3
初回投稿日
2019-05-03
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

射影多様体がCampanaの意味でspecialであることと稠密な整曲線の存在を結ぶ予想を、有理連結多様体について解決する。ここで整曲線は正則写像 $h:\mathbb C\to X$ であり、その像を計量的に稠密にする。

構成では有理曲線をcomb smoothingで変形し、指定点列への近似と自由度を段階的に両立させる。極限として得る整曲線が多様体全体を稠密に走る。

さらに、この整曲線は任意の分岐被覆へ持ち上がらないよう選べる。これは算術幾何のweak Hilbert propertyのNevanlinna理論的類似に答える。

背景と問題設定

有理連結性は任意の二点を有理曲線で結べる強い柔軟性であるが、一本の整曲線の像を稠密にできるかは別問題である。

主結果

稠密整曲線（Theorem 5.2）

有理連結複素射影多様体 $X$ には、像が計量的に稠密な正則写像

$$ h:\mathbb C\longrightarrow X $$

が存在する。Introductionの説明では、指定した可算稠密集合への近似や有限個の補間条件も構成に組み込める。

分岐被覆への非持上げ

$h$ は $X$ のいかなる分岐被覆にも持ち上がらないように選択できる。

証明の見取り図

多数の自由有理曲線をcomb状に付加してsmoothingし、増大する円板上で前段階の写像を近似する。誤差を可算和で制御し、極限写像の稠密性と被覆に対する横断条件を同時に保つ。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1905.01104
  • Introduction: Section 1
  • 確認したarXivバージョン: v3
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction