複素微分幾何学 · 2026-09-18

Chern class inequalities on polarized manifolds and nef vector bundles

偏極多様体とnefベクトル束のChern類不等式

Ping Li, Fangyang Zheng

ping-li-quc6ck fangyang-zheng-bxdsp8 positivity vector-bundles-sheaves chern-classes Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Chern class Chern classes Chern number Chern numbers

arXiv Abstract

This article is concerned with Chern class and Chern number inequalities on polarized manifolds and nef vector bundles. For a polarized pair $(M,L)$ with $L$ very ample, our first main result is a family of sharp Chern class inequalities. Among them the first one is a variant of a classical result and the equality case of the second one is a characterization of hypersurfaces. The second main result is a Chern number inequality on it, which includes a reverse Miyaoka-Yau type inequality. The third main result is that the Chern numbers of a nef vector bundle over a compact Kähler manifold are bounded below by the Euler number. As an application, we classify compact Kähler manifolds with nonnegative bisectional curvature whose Chern numbers are all positive. A conjecture related to the Euler number of compact Kähler manifolds with nonpositive bisectional curvature is proposed, which can be regarded as a complex analogue to the Hopf conjecture.

日本語要約

非常に豊富な直線束で偏極された多様体について、鋭いChern類・Chern数不等式を構成する。さらにコンパクトKähler多様体上のnefベクトル束ではEuler数がChern数の下界になることを示し、曲率非負の場合の分類に応用する。

This article is concerned with Chern class and Chern number inequalities on polarized manifolds and nef vector bundles. For a polarized pair $(M,L)$ with $L$ very ample, our first main result is a family of sharp Chern class inequalities. Among them the first one is a variant of a classical result and the equality case of the second one is a characterization of hypersurfaces. The second main result is a Chern number inequality on it, which includes a reverse Miyaoka-Yau type inequality. The third main result is that the Chern numbers of a nef vector bundle over a compact Kähler manifold are bounded below by the Euler number. As an application, we classify compact Kähler manifolds with nonnegative bisectional curvature whose Chern numbers are all positive. A conjecture related to the Euler number of compact Kähler manifolds with nonpositive bisectional curvature is proposed, which can be regarded as a complex analogue to the Hopf conjecture.

非常に豊富な偏極をもつ射影多様体に対する鋭いChern類不等式と、nefベクトル束のChern数の下界を与える。超曲面を特徴付ける等号条件、逆Miyaoka–Yau型不等式、非負双正則断面曲率をもつKähler多様体の分類へ応用する。

arXiv
2004.09224v1
初回投稿日
2020-04-20
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

正値ベクトル束のChern類が満たす不等式を、非常に豊富な直線束による射影埋め込みと結び付けて調べる。Fulton--Lazarsfeld型の正値性を、具体的で鋭いChern類不等式へ変換することが出発点である。

第一の結果はSegre類 $s_i(M)$ を用いる不等式族であり、$k=2$ の等号は射影空間または射影超曲面を特徴付ける。第二の結果は $c_1,c_2$ と偏極を結ぶChern数不等式で、逆Miyaoka--Yau型評価を含む。

さらにnefベクトル束のChern数をEuler数で下から評価し、非負双正則断面曲率をもつコンパクトKähler多様体の分類へつなげる。

背景と問題設定

$L$ を $n$ 次元射影多様体 $M$ 上の非常に豊富な直線束とする。Introductionは、$L$ が定める射影埋め込みからBott--Chern非負な幾何モデルを作り、Schur多項式の正値性を利用する方針を説明する。

主結果

Chern類不等式（Theorem 2.1）

各 $k\geq1$ に対して

$$ \sum_{i=0}^{k}(-1)^i {n+k\choose k-i}s_i(M)L^{k-i}\geq0 $$

が成り立つ。$k=2$ の等号条件は $(M,L)=(\mathbb P^n,\mathcal O(1))$ またはKodaira写像の像が $\mathbb P^{n+1}$ の超曲面であることを特徴付ける。

nef束の下界（Theorem 2.8）

Introductionでは、nefベクトル束のChern数がEuler数を下界にもつと述べられている。Schur類の正値性を十分に使う点が従来の上界評価との違いである。

証明の見取り図

射影埋め込みからBott--Chern非負束を構成し、そのChern形式の非負性を不等式へ移す。等号条件ではGauss写像と代数幾何的議論を用い、nef束の結果ではSchur多項式の正値性を組み合わせる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2004.09224
  • Introduction: Section 1
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction