複素微分幾何学 · 2026-09-11

Metric rigidity of Kahler manifolds with lower Ricci bounds and almost maximal volume

Ricci曲率下界とほぼ最大体積をもつKähler多様体の距離剛性

Ved Datar, Harish Seshadri, Jian Song

ved-datar-1fmrn4e harish-seshadri-1t0lkb jian-song-1io122w curvature metric-limits Curvature geometry 曲率幾何 Metric limits and Gromov–Hausdorff geometry 距離空間極限・Gromov–Hausdorff幾何

arXiv Abstract

In this short note we prove that a Kahler manifold with lower Ricci curvature bound and almost maximal volume is Gromov-Hausdorff close to the projective space with the Fubini-Study metric. This is done by combining the recent results of Kewei Zhang and Yuchen Liu on holomorphic rigidity of such Kahler manifolds with the structure theorem of Tian-Wang for almost Einstein manifolds. This can be regarded as the complex analog of the result on Colding on the shape of Riemannian manifolds with almost maximal volume

日本語要約

Ricci曲率に下界をもち、体積が最大値に近いKähler多様体は、Fubini–Study計量を備えた複素射影空間にGromov–Hausdorff距離で近いことを証明する。Kähler多様体の正則剛性に関する結果と、概Einstein多様体に対するTian–Wangの構造定理を組み合わせる。これは、ほぼ最大体積をもつRiemann多様体の形に関するColdingの結果の複素版に当たる。

In this short note we prove that a Kahler manifold with lower Ricci curvature bound and almost maximal volume is Gromov-Hausdorff close to the projective space with the Fubini-Study metric. This is done by combining the recent results of Kewei Zhang and Yuchen Liu on holomorphic rigidity of such Kahler manifolds with the structure theorem of Tian-Wang for almost Einstein manifolds. This can be regarded as the complex analog of the result on Colding on the shape of Riemannian manifolds with almost maximal volume

Ricci曲率がKähler形式以上で、体積がFubini–Study計量を入れた複素射影空間の最大値に十分近いKähler多様体を扱う。体積欠損が小さければ多様体全体が複素射影空間にGromov–Hausdorff距離で近いことを示し、正則剛性を距離剛性へ高める。

arXiv
2010.10925v1
初回投稿日
2020-10-21
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

$(M^n,\omega)$ を $\operatorname{Ric}(\omega)\geq\omega$ を満たすKähler多様体とする。Zhangの体積評価によれば、その体積は $\operatorname{Ric}(\omega_{\mathbf{CP}^n})=\omega_{\mathbf{CP}^n}$ と規格化したFubini–Study計量の体積を超えず、等号は複素射影空間に限る。

本論文は等号の場合だけでなく、体積が最大値に十分近い場合の定量的剛性を証明する。任意の許容誤差に対し体積欠損の閾値が存在し、その閾値より欠損が小さければGromov–Hausdorff距離も許容誤差より小さくなる。

鍵は、Liuによる「ほぼ最大体積なら基礎複素多様体が $\mathbf{CP}^n$ である」という正則剛性と、Tian–Wangによる概Einstein多様体の極限構造を接続する点にある。したがって結論は複素構造の同定に留まらず、計量そのもののFubini–Study計量への近さを与える。

背景と問題設定

実Riemann幾何では、Ricci曲率下界のもとで体積が球面の最大値に近ければ空間が球面にGromov–Hausdorff距離で近いというColdingの定理がある。本論文は、最大モデルを $\mathbf{CP}^n$ とするKähler版を問題とする。Introductionは、Kähler–Einstein Fano多様体における先行する体積評価や、K-安定性と安定性閾値を用いた正則剛性も位置づけている。

主結果

距離剛性（Theorem 1）

任意の $\varepsilon>0$ に対し $\delta=\delta(\varepsilon,n)>0$ が存在する。$\operatorname{Ric}(\omega)\geq\omega$ かつ

$$ \operatorname{Vol}(M,\omega)>(1-\delta)\operatorname{Vol}(\mathbf{CP}^n,\omega_{\mathbf{CP}^n}) $$

ならば、

$$ d_{GH}\bigl((M,\omega),(\mathbf{CP}^n,\omega_{\mathbf{CP}^n})\bigr)<\varepsilon $$

が成り立つ。重要なのは、体積のほぼ等号成立から位相的・正則な分類だけでなく、全体の距離空間としての近さを得る点である。

証明の見取り図

まずLiuの結果により、体積が最大値へ十分近い多様体の複素構造を $\mathbf{CP}^n$ と同定する。次に、反例列を仮定して概Einstein計量のGromov–Hausdorff極限を取り、Tian–Wangの構造定理を用いて極限をFubini–Study計量と同定することで矛盾を導く。Introductionは、Ricci曲率下界をもつ非崩壊Kähler極限に関するLiu–Székelyhidiの結果を用いる別証明も案内する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2010.10925
  • Introduction: Section 1, pp. 1–2
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1
  • 論文構成の説明: p. 2
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction