代数幾何学 · 2026-09-09

A note on compact Kähler varieties with pseudo-effective tangent sheaf

擬有効接層をもつコンパクトKähler多様体について

Shin-ichi Matsumura, Guolei Zhong

shin-ichi-matsumura-13diqgq guolei-zhong-1qbthy0 positivity vector-bundles-sheaves singularities fano-varieties Singularities 特異点・特異性 Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Fano varieties ファノ多様体

arXiv Abstract

In this paper, we discuss recent developments and open problems concerning the geometry of compact Kähler varieties whose tangent sheaves are pseudo-effective in a strong sense. As our main result, we prove that, after passing to a finite quasi-étale cover, any compact Kähler variety with quotient singularities and pseudo-effective tangent sheaf admits a flat fibration onto a complex torus, with rationally connected fibers. We also obtain an analogous structure theorem for klt compact Kähler varieties, assuming the existence of minimal models in numerical dimension zero; consequently, the result holds unconditionally in the projective setting and for low-dimensional compact Kähler varieties.

日本語要約

強い意味で擬有効な接層をもつコンパクトKähler多様体について、近年の進展と未解決問題を整理しつつ構造定理を証明する。商特異点をもつ場合、有限quasi-étale被覆を取れば、複素トーラスのétale商への平坦射が存在し、そのファイバーは有理連結である。kltコンパクトKähler多様体についても、数値次元零の極小モデルの存在を仮定して類似の定理を得るため、射影的な場合と低次元の場合には無条件の結論となる。

In this paper, we discuss recent developments and open problems concerning the geometry of compact Kähler varieties whose tangent sheaves are pseudo-effective in a strong sense. As our main result, we prove that, after passing to a finite quasi-étale cover, any compact Kähler variety with quotient singularities and pseudo-effective tangent sheaf admits a flat fibration onto a complex torus, with rationally connected fibers. We also obtain an analogous structure theorem for klt compact Kähler varieties, assuming the existence of minimal models in numerical dimension zero; consequently, the result holds unconditionally in the projective setting and for low-dimensional compact Kähler varieties.

強い意味で擬有効な接層をもつ特異コンパクトKähler多様体の大域構造を調べる。商特異点の場合、有限quasi-étale被覆の後に、複素トーラスのétale商を底とし有理連結なklt射影多様体をファイバーとする平坦射が存在することを示す。

arXiv
2609.07069v1
初回投稿日
2026-09-07
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

接束の正値性は多様体の大域構造を強く拘束する。nef接束をもつ滑らかなコンパクトKähler多様体については、有限étale被覆後に複素トーラス上のFanoファイバー束が現れることが知られている。本論文は正値性を擬有効性まで弱め、さらに特異点を許す。

採用する強い擬有効性は、対称冪$\operatorname{Sym}^m\mathcal E$上に曲率が$-\omega_X$以上の特異Hermite計量が各$m$について存在するという条件である。単に$\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)$が擬有効という条件より強い。

商特異点をもつ場合、有限quasi-étale被覆後に最大有理連結射を至る所で定義された平坦射として実現し、底とファイバーを明示する。一般のklt特異点では数値次元零の極小モデル存在を仮定するが、射影的または4次元以下なら既知の結果により無条件となる。

背景と問題設定

滑らかな場合にも、擬有効接束から得られるMRC射が局所自明か、また有理連結なら$-K_X$がbigか、という問題が残る。特異なklt Kähler多様体ではMRC射が全空間上の射として存在すること自体が自明でない。本論文の焦点は、この後者の障害を越えて底・ファイバー・変動を記述することである。

主結果

商特異点の場合（Theorem 1.5）

接層が擬有効な商特異点付きコンパクトKähler多様体$X$は、有限quasi-étale被覆で置き換えた後、平坦射$\alpha:X\to Y$をもつ。底$Y$は複素トーラス$A$のétale商であり、各ファイバーは既約・被約・有理連結なklt射影多様体である。非常に一般のファイバーの接層も擬有効となる。$X$が特異なら、その特異集合の各既約成分は$Y$を支配する。

kltの場合（Theorem 1.6, Corollary 1.8）

数値次元零のコンパクトKähler多様体に極小モデルが存在するというConjecture 1.7のもとで、有限quasi-étale被覆後に複素トーラス$T$への射$X\to T$が得られ、非常に一般のファイバーは擬有効接層をもつ有理連結klt射影多様体となる。この結論は$X$が射影的、または$\dim X\le4$なら無条件である。

証明の見取り図

Introductionは、擬有効接層から得られる葉層・MRC構造を出発点とし、quasi-étale被覆を通じて底をトーラス型にする方針を示す。商特異点の場合には解消上の合成射を滑らかにでき、平坦性とファイバーの被約性を導く。一般のklt場合では数値次元零の部分を極小モデルへ移す段階が条件付きとなる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.07069
  • Introduction: Section 1, pp. 1–4
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.5, Theorem 1.6, Conjecture 1.7, Corollary 1.8
  • 論文構成の説明: Introductionには節構成の列挙なし
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction