代数幾何学 · 2026-09-07

Numerical and kodaira dimensions of cotangent bundles

余接束の数値次元と小平次元

Frederic Bruno Campana

frederic-bruno-campana-1czknwy vector-bundles-sheaves positivity calabi-yau-geometry Positivity 正値性 Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Calabi–Yau geometry カラビ・ヤウ幾何

arXiv Abstract

We conjecture the equality of the numerical and Kodaira dimensions $ν_1^*(X)$ and $κ_1^*(X)$ for the cotangent bundle of compact Kähler manifolds $X$, generalising the classical case of the canonical bundle. We show or reduce it to the classical case of the canonical bundle for some peculiar manifolds: among them, the rationally connected ones, or resolutions of varieties with klt singularities and trivial first Chern class, in which case we show that $ν_1^*(X)=κ_1^*(X)=q'(X)-dim(X)$, where $q'(X)$ is the maximal irregularity of a finite étale cover of $X$. The proof rests on the Beauville-Bogomolov decomposition, and a direct computation for smooth models of quotients $A/G$ of complex tori by finite groups. We conjecture that these equalities hold true, much more generally, when $X$ is `special'. The invariant $κ_1^*$ was already introduced and studied by Fumio Sakai in [43], the particular case of the preceding conjecture when $κ_1^*(X)=-dim(X)$ was introduced and studied in [29].

日本語要約

コンパクトKähler多様体の余接束について、数値次元と小平次元を定義し、その一致を予想する。この予想を有理連結多様体などで古典的予想へ帰着し、いくつかの特殊な場合に証明する。特にklt特異点と $c_1=0$ をもつ多様体の滑らかなモデルでは、両不変量が $q\prime(X)-\dim X$ に等しいことを示す。

We conjecture the equality of the numerical and Kodaira dimensions $ν_1^*(X)$ and $κ_1^*(X)$ for the cotangent bundle of compact Kähler manifolds $X$, generalising the classical case of the canonical bundle. We show or reduce it to the classical case of the canonical bundle for some peculiar manifolds: among them, the rationally connected ones, or resolutions of varieties with klt singularities and trivial first Chern class, in which case we show that $ν_1^*(X)=κ_1^*(X)=q'(X)-dim(X)$, where $q'(X)$ is the maximal irregularity of a finite étale cover of $X$. The proof rests on the Beauville-Bogomolov decomposition, and a direct computation for smooth models of quotients $A/G$ of complex tori by finite groups. We conjecture that these equalities hold true, much more generally, when $X$ is `special'. The invariant $κ_1^*$ was already introduced and studied by Fumio Sakai in [43], the particular case of the preceding conjecture when $κ_1^*(X)=-dim(X)$ was introduced and studied in [29].

コンパクトKähler多様体の余接束について、正規化した数値次元と小平次元の一致を予想し、いくつかのクラスで検証する。特にklt特異点と消える第一Chern類をもつ多様体の滑らかなモデルでは、両次元を有限エタール被覆の最大不正則度により明示的に計算する。

arXiv
2203.03273v2
初回投稿日
2022-03-07
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

線束 $L$ の数値次元 $\nu(X,L)$ と小平–飯高次元 $\kappa(X,L)$ には一般に $\nu\ge\kappa$ が成り立つが、標準束についての等号はabundance予想の中心である。本論文はベクトル束を射影化して同様の次元を定義し、余接束 $\Omega_X^p$ へ適用する。

全てのコンパクト連結Kähler多様体と $p>0$ に対する $\nu_p(X)=\kappa_p(X)$ が主予想である。論文は有理連結多様体、Abel多様体の部分多様体、射影空間の完全交叉などを扱い、場合によって古典的abundanceへ帰着する。

最も明示的な成果は、kltかつ $c_1=0$ のモデルをもつ場合である。余接束の正規化した両次元を、有限エタール被覆で達成される最大不正則度 $q'(X)$ だけから計算する。

背景と問題設定

階数 $r$ のベクトル束 $E$ に対し $\pi:\mathbb P(E)\to X$ と $L_E=\mathcal O_{\mathbb P(E)}(1)$ を用いて

$$ \nu(X,E)=\nu(\mathbb P(E),L_E)-(r-1),\qquad \kappa(X,E)=\kappa(\mathbb P(E),L_E)-(r-1) $$

と定義する。$E=\Omega_X^p$ の場合を $\nu_p(X),\kappa_p(X)$ と書く。これらは有限エタール被覆と双有理同値の下で保たれる。

主結果

予想1.6（余接次元のabundance）

任意のコンパクト連結Kähler多様体 $X$ と $p>0$ に対して

$$ \nu_p(X)=\kappa_p(X) $$

が成り立つと予想する。これは証明済みの主張ではなく、論文が複数のクラスで検証する中心問題である。

$c_1=0$ のkltモデルに対する計算

Introductionでは主要成果の一つとして次のように述べられている。$X$ がklt特異点と $c_1=0$ をもつ双有理モデルを許すなら、star付きの正規化に対し

$$ \nu_1^(X)=\kappa_1^(X)=q'(X)-\dim X $$

が成り立つ。ここで $q'(X)$ は対応するkltモデルの有限エタール被覆の不正則度の最大値である。

その他の検証範囲

有理連結の場合の予想を古典的abundance予想へ帰着し、Abel多様体内で法束がampleな部分多様体、および余次元が次元より小さい射影空間内完全交叉でも既知の $\kappa_1$ の計算を $\nu_1$ へ拡張する。

証明の見取り図

$c_1=0$ の場合は特異Bogomolov–Beauville分解により、複素トーラス $A$ の有限群商 $A/G$ の滑らかなモデルへ還元する。その商の場合を直接計算する部分が主要な新規入力である。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2203.03273
  • Introduction: Section 1, pp. 2–7
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Conjecture 1.6; Theorems 2.4, 4.5（概説）
  • 確認したarXivバージョン: v2
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction