代数幾何学 · 2026-09-03

Non-nef loci in mixed characteristic

混標数における非nef locus

Ryotaro Iwane

ryotaro-iwane-knjwpn positivity singularities positive-characteristic birational-geometry Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Positivity 正値性 Positive characteristic 正標数

arXiv Abstract

We introduce relative versions of non-nef loci and restricted base loci, and investigate a relative version of Boucksom--Broustet--Pacienza's conjecture that these two loci coincide. We prove the conjecture holds for normal integral schemes projective and flat over a Dedekind domain of characteristic zero with mild singularities, such as BCM-regularity. This result is a mixed characteristic analogue of results of Cacciola--Di Biagio in characteristic zero and Sato in positive characteristic. To prove this result, we show that BCM-regularity is preserved under perturbations by divisors with small vanishing order.

日本語要約

非nef locusとrestricted base locusの相対版を導入し、両者の一致予想を調べる。標数0のDedekind domain上で射影的かつ平坦な正規整schemeがBCM-regularityなどの穏やかな特異性を持つ場合に一致を証明する。これは標数0および正標数で知られた結果の混標数版であり、消滅位数の小さい因子による摂動のもとでBCM-regularityが保たれることが証明の鍵である。

We introduce relative versions of non-nef loci and restricted base loci, and investigate a relative version of Boucksom--Broustet--Pacienza's conjecture that these two loci coincide. We prove the conjecture holds for normal integral schemes projective and flat over a Dedekind domain of characteristic zero with mild singularities, such as BCM-regularity. This result is a mixed characteristic analogue of results of Cacciola--Di Biagio in characteristic zero and Sato in positive characteristic. To prove this result, we show that BCM-regularity is preserved under perturbations by divisors with small vanishing order.

因子の非nef locusとrestricted base locusが一致するという予想を相対化し、標数0のDedekind scheme上の混標数族で証明する。混標数点にはBCM-regular type、等標数0の点にはklt typeという穏やかな特異性を仮定し、漸近test idealとBCM-regularityの摂動安定性を橋渡しに用いる。

arXiv
2609.02561v1
初回投稿日
2026-09-02
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

因子 $D$ の非nef locus $\operatorname{NNef}(D)$ とrestricted base locus $\mathbf B_-(D)$ は、いずれもnef性の破れを測る。両者は一致すると予想され、標数0のklt型および正標数の強F-正則な場合には既知である。

本論文は両概念を射影射 $f:X\to S$ に対して相対化する。主結果は、標数0のDedekind schemeを底とする場合に、等標数0の点でklt type、混標数点でBCM-regular typeという仮定のもとで相対版の一致を証明する。

混標数での鍵は、漸近test idealの零点集合を介して二つのlocusを比較することである。そのために、BCM-regular pairが消滅位数の十分小さい因子による摂動のもとで一様にBCM-regularに保たれることを用いる。

背景と問題設定

big Cartier因子に対する数値的消滅次数から非nef locusを定め、安定base locusを微小なample摂動で正則化してrestricted base locusを定める。相対版の予想は、任意の相対 $\mathbb R$-Cartier因子 $D$ に対して

$$ \operatorname{NNef}(D/S)=\mathbf B_-(D/S) $$

が成り立つというものである。

主結果

等標数での相対的一致（Theorem 1.3）

底が双対化複体を持つexcellentな $\mathbb Q$-schemeで、$X$ が有限個の閉点を除きklt typeならば予想が成り立つ。$F$-finiteな $\mathbb F_p$-scheme上でも、強F-正則性の対応する仮定のもとで同じ結論を得る。

混標数の主定理（Main Theorem 1.4）

$S$ を標数0のDedekind scheme、$f:X\to S$ を正規整schemeからの射影全射とする。$X$ の各非閉点が、等標数0かつklt type、または混標数かつBCM-regular typeのいずれかならば、すべての相対 $\mathbb R$-Cartier因子について上の一致が成り立つ。

test idealによる比較（Theorem 1.6）

混標数DVR上で、log $\mathbb Q$-Gorenstein pair $(X,\Delta)$ とbig $\mathbb Q$-Cartier因子 $D$ に対し、$\tau(X,\Delta)$ の零点を除けば

$$ \operatorname{NNef}(D)=\mathbf B_-(D) =\bigcup_{m>0}Z\bigl(\tau(X,\Delta,|mD|)\bigr) $$

が成り立つ。

証明の見取り図

baseによる局所化と両locusの形成が可換であるため、底を等標数0または混標数のDVRへ帰着する。混標数では漸近test idealの一様大域生成からrestricted base locusをその零点集合に含める。逆向きの比較には、BCM-regularityが小さい因子摂動で保たれる一様安定性を使い、数値的消滅次数をtest idealの非自明性へ変換する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.02561
  • Introduction: Section 1, pp. 1–4
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.3, 1.4, 1.6; Corollary 1.5; Proposition 1.7
  • 論文構成の説明: Introduction, pp. 3–4
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction