代数幾何学 · 2026-09-02

A linear bound for Fujita's freeness conjecture

Fujita自由性予想に対する線形上界

Jingjun Han

jingjun-han-rohq43 singularities positivity multiplier-ideals-extension Singularities 特異点・特異性 Positivity 正値性 Multiplier ideals and extension theorems 乗数イデアル・拡張定理

arXiv Abstract

Let $X$ be a smooth complex projective variety of dimension $n$, and let $L$ be an ample Cartier divisor. We prove that $K_X+mL$ is globally generated for every integer $m\geq\lceil C_0n\rceil$, where $C_0=1.77629\ldots$ is an explicit constant. In particular, $K_X+2nL$ is globally generated. Our main input is a new estimate for the multiplicity of a minimal log canonical center. If $(X,Δ)$ is log canonical near a closed point $x$ but is not klt at $x$, and $W$ is the positive-dimensional minimal log canonical center through $x$, then $2\overline{e}_1(\mathfrak m_{W,x})\leq\bigl(\dim W-\operatorname{lct}_x((X,Δ);\mathfrak m_x)\bigr)\operatorname{mult}_xW$, where $\overline{e}_1(\mathfrak m_{W,x})$ is the first normal Hilbert coefficient of the maximal ideal of $\mathcal O_{W,x}$. This implies $\operatorname{mult}_xW\leq \frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}$, where $a:=\frac{\dim W-\operatorname{lct}_x((X,Δ);\mathfrak m_{x})}{2}$ and $c:=\operatorname{edim}\mathcal O_{W,x}-\dim W$.

日本語要約

$n$ 次元の滑らかな複素射影多様体 $X$ とample Cartier因子 $L$ について、$K_X+mL$ は $m\geq\lceil C_0n\rceil$、$C_0=1.77629\ldots$ で大域生成される。主要な入力は、正次元の最小log canonical centerの重複度を局所log canonical thresholdと第一正規Hilbert係数で評価する不等式である。特に簡明な帰結として $K_X+2nL$ の大域生成を得る。

Let $X$ be a smooth complex projective variety of dimension $n$, and let $L$ be an ample Cartier divisor. We prove that $K_X+mL$ is globally generated for every integer $m\geq\lceil C_0n\rceil$, where $C_0=1.77629\ldots$ is an explicit constant. In particular, $K_X+2nL$ is globally generated. Our main input is a new estimate for the multiplicity of a minimal log canonical center. If $(X,Δ)$ is log canonical near a closed point $x$ but is not klt at $x$, and $W$ is the positive-dimensional minimal log canonical center through $x$, then $2\overline{e}_1(\mathfrak m_{W,x})\leq\bigl(\dim W-\operatorname{lct}_x((X,Δ);\mathfrak m_x)\bigr)\operatorname{mult}_xW$, where $\overline{e}_1(\mathfrak m_{W,x})$ is the first normal Hilbert coefficient of the maximal ideal of $\mathcal O_{W,x}$. This implies $\operatorname{mult}_xW\leq \frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}$, where $a:=\frac{\dim W-\operatorname{lct}_x((X,Δ);\mathfrak m_{x})}{2}$ and $c:=\operatorname{edim}\mathcal O_{W,x}-\dim W$.

滑らかな $n$ 次元射影多様体とample Cartier因子 $L$ に対し、随伴束 $K_X+mL$ が $m\geq\lceil1.77629\ldots n\rceil$ で大域生成されることを示す。最小log canonical centerの重複度を連続的に制御する新不等式により、Fujita自由性予想に初の次元線形な一般上界を与える。

arXiv
2609.01574v1
初回投稿日
2026-09-01
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Fujitaの自由性予想は、$n$ 次元の滑らかな射影多様体とample Cartier因子 $L$ に対し、$K_X+mL$ が $m\geq n+1$ で大域生成されると予想する。従来の任意次元における最良の一般上界には $n\log\log n$ の因子が残っていた。

本論文は、明示的定数 $C_0=1.77629988\ldots$ によって $m\geq\lceil C_0n\rceil$ ならば大域生成が成り立つことを示す。これは次元に線形な最初の一般上界であり、予想との差を増大度ではなく先頭定数の問題に縮める。

鍵は、一点 $x$ を通る最小log canonical center $W$ の重複度に対する連続的な評価である。これをlc centerを次元ごとに切り下げる帰納に組み込み、加える因子の係数の総和を積分で制御する。

背景と問題設定

Angehrn–Siuの方法は、固定点 $x$ を通るlc centerを有効因子で逐次切り下げ、${x}$ が孤立lc centerになった段階でNadel消滅を使う。従来は特異なcenterの重複度を十分精密に制御できず、係数の総和が超線形となっていた。

主結果

線形自由性上界（Theorem 1.1, Corollary 1.2）

$$ C_0:=\int_0^{\varphi^{-2}}\frac{2{-z\log z-(1-z)\log(1-z)}}{z^{3/2}\log^2z},dz =1.77629988\ldots, \qquad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}. $$

$m\geq\lceil C_0n\rceil$ ならば $K_X+mL$ は大域生成される。とくに $K_X+2nL$ は大域生成される。

最小lc centerの重複度評価（Theorems 1.3, 1.4）

$d=\dim W$、$b=\operatorname{lct}x((X,\Delta);\mathfrak m_x)$、$a=(d-b)/2$、$c=\operatorname{edim}\mathcal O{W,x}-d$ とおくと

$$ 2\overline e_1(\mathfrak m_{W,x})\leq(d-b)\operatorname{mult}_xW, \qquad \operatorname{mult}_xW\leq\frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}. $$

後者が $b$ に連続的に依存する点が、切り下げ過程を積分評価に変換する新規性である。

証明の見取り図

高次元次の準随により $(K_X+\Delta)|W\sim{\mathbb Q}K_W+B_W+M_W$ を用い、法部分のnef性と正規化blow-up上のRiemann–Roch比較から第一正規Hilbert係数の不等式を導く。それをlc center切り下げの各段階に適用し、必要係数を $C_0n$ 未満に抑える。最後にNadel消滅が $x$ で消えない大域切断を与える。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.01574
  • Introduction: Section 1, pp. 1–5
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1, 1.3, 1.4; Corollary 1.2
  • 論文構成の説明: Introduction, pp. 4–5
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction