複素微分幾何学 · 2026-08-31
Scalar curvature on Kähler blow-ups and systolic inequalities
Kählerブローアップ上のスカラー曲率とシストリック不等式 Zehao Sha, Jian Wang zehao-sha-v6bi8q jian-wang-6gss4m curvature birational-geometry Birational geometry 双有理幾何 Curvature geometry 曲率幾何arXiv Abstract
In this paper, we develop the weighted level set method for a Kähler manifold $(X^n,\omega)$ admitting an almost holomorphic map to a possibly singular base $Z$, which is not uniruled. As a key intermediate result, we prove that any blowup $\operatorname{Bl}_SX$ of $X$ along smooth submanifolds $S$ of $ \operatorname{codim} S\ge2$ admits a sequence of Kähler metrics with scalar curvature globally and arbitrarily $C^0$-close to the scalar curvature of $\omega$. As a consequence, we establish the sharp \(2\)-systole estimate for every positive scalar curvature Kähler manifold $(X,\omega)$ and prove $\min_XS(\omega) \cdot\operatorname{sys}_2(\omega) \le 2\pi r(r+1)$, where \(r\) is the rational dimension of $X$, with equality if and only if the universal cover splits as $(\widetilde X,\widetilde \omega) \cong (\mathbb P^r,\omega_{\mathrm{FS}}) \times(Y^{n-r},\omega_{\mathrm{RF}})$ up to normalization where $\omega_{\mathrm{FS}}$ is the Fubini-Study metric and $\omega_{\mathrm{RF}}$ is Ricci-flat. We also show a sharp even-systolic inequality in the same setting when the general fibre is the projective space.
日本語要約
非単線織な底への概正則写像をもつKähler多様体に重み付きレベル集合法を展開する。主要な中間結果として、余次元2以上の滑らかな中心に沿うブローアップ上で、元の計量のスカラー曲率に大域的に一様近似するKähler計量列を構成する。これにより、有理次元 $r$ をもつ正スカラー曲率Kähler多様体について $\min_XS(\omega)\operatorname{sys}_2(\omega)\leq2\pi r(r+1)$ を示し、等号時の普遍被覆を射影空間とRicci平坦因子の積として特徴づける。
In this paper, we develop the weighted level set method for a Kähler manifold $(X^n,\omega)$ admitting an almost holomorphic map to a possibly singular base $Z$, which is not uniruled. As a key intermediate result, we prove that any blowup $\operatorname{Bl}_SX$ of $X$ along smooth submanifolds $S$ of $ \operatorname{codim} S\ge2$ admits a sequence of Kähler metrics with scalar curvature globally and arbitrarily $C^0$-close to the scalar curvature of $\omega$. As a consequence, we establish the sharp \(2\)-systole estimate for every positive scalar curvature Kähler manifold $(X,\omega)$ and prove $\min_XS(\omega) \cdot\operatorname{sys}_2(\omega) \le 2\pi r(r+1)$, where \(r\) is the rational dimension of $X$, with equality if and only if the universal cover splits as $(\widetilde X,\widetilde \omega) \cong (\mathbb P^r,\omega_{\mathrm{FS}}) \times(Y^{n-r},\omega_{\mathrm{RF}})$ up to normalization where $\omega_{\mathrm{FS}}$ is the Fubini-Study metric and $\omega_{\mathrm{RF}}$ is Ricci-flat. We also show a sharp even-systolic inequality in the same setting when the general fibre is the projective space.
正スカラー曲率をもつコンパクトKähler多様体の最小2次元サイクルの面積を、有理商の一般ファイバー次元だけで鋭く評価する。任意の滑らかな余次元2以上の中心に沿うブローアップでスカラー曲率を一様近似する定理を構築し、有理商の解消後にも曲率評価を運べるようにした点が中心である。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2608.27433
- 著者: Zehao Sha, Jian Wang
- 初回投稿日: 2026年8月27日
- 最終更新日: 2026年8月27日
- 主分類・副分類: math.DG（主分類）
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
シストリック幾何は、非自明なホモロジー類を表すサイクルの最小体積と曲率などの大域量との関係を問う。一般の正スカラー曲率多様体では2-シストールを一様に抑えられないが、Kähler形式が複素曲線を較正し、その面積をコホモロジー的に固定するため、Kählerの場合には強い制約が期待できる。
本論文は、最大有理連結ファイブレーションの一般ファイバーの複素次元 $r$、すなわち有理次元を用いて鋭い評価
$$ \min_X S(\omega),\operatorname{sys}_2(\omega)\leq2\pi r(r+1) $$
を証明する。定数が多様体全体の次元でなく双有理不変量 $r$ のみに依存する点が特徴である。
最大有理連結ファイブレーションは一般に概正則で、底も特異となりうる。グラフを解消するとブローアップ上の正則ファイブレーションが得られるものの、元の計量の引き戻しは例外因子上で退化する。本論文はこの障害を、スカラー曲率を大域的に $C^0$ 近似する真のKähler計量列の構成によって克服する。
背景と問題設定
$\operatorname{sys}_2(\omega)$ は非零の整数ホモロジー類を表す2次元サイクルの最小面積である。正スカラー曲率Kähler多様体は単線織であり、その最大有理連結ファイブレーション $X\dashrightarrow Z$ の一般ファイバーは有理連結、底は非単線織となる。ここで
$$ r(X)=\dim_{\mathbb C}X-\dim_{\mathbb C}Z $$
を有理次元と呼ぶ。これは双有理不変量で、$X$ が有理連結ならちょうど $r(X)=\dim_{\mathbb C}X$ となる。
主結果
鋭い2-シストリック不等式（Theorem 1.1）
正スカラー曲率をもつコンパクトKähler多様体 $(X^n,\omega)$ と $r=r(X)$ に対して
$$ \min_X S(\omega),\operatorname{sys}_2(\omega)\leq2\pi r(r+1) $$
が成り立つ。等号が成立するのは、2-シストールが有理曲線で実現され、正規化を除いて普遍被覆が
$$ (\widetilde X,\widetilde\omega)\cong (\mathbb P^r,\sigma\omega_{\mathrm{FS}})\times (Y^{n-r},\omega_{\mathrm{RF}}),\qquad \sigma=\operatorname{sys}_2(\omega) $$
と分裂する場合に限る。ここで $\omega_{\mathrm{RF}}$ はRicci平坦である。
ブローアップ上のスカラー曲率近似（Theorem 1.2）
滑らかな複素余次元2以上の中心に沿う有限回のブローアップ $\mu:X_J\to X$ に対し、例外因子の全変換を $\widetilde E_j$ とすると、$\varepsilon_{j,\ell}\to0$ で
$$ [\omega_\ell]=\mu^*[\omega]-\sum_{j=1}^J\varepsilon_{j,\ell}^2[\widetilde E_j], \qquad \lVert S(\omega_\ell)-\mu^*S(\omega)\rVert_{C^0(X_J)}\to0 $$
を満たすKähler計量列が存在する。例外集合の外では $\omega_\ell$ 自身も $\mu^*\omega$ へ滑らかに収束する。
射影空間ファイバーの場合の偶数次シストール（Theorem 1.3）
非単線織な底への概正則ファイブレーションの一般ファイバーが $\mathbb P^r$ であるとき、$1\leq q\leq r$ に対して
$$ \min_XS(\omega),\operatorname{sys}_{2q}(\omega)^{1/q}leq2\pi r(r+1) $$
が成り立つ。Introductionはさらに等号の場合を普遍被覆の積分解によって記述する。
証明の見取り図
最大有理連結ファイブレーションのグラフを解消し、滑らかなKähler多様体間の正則ファイブレーションへ置き換える。Theorem 1.2の計量列によって、解消空間上の最小スカラー曲率を元の値へ近づけつつ、ファイバー上で重み付きレベル集合法を適用する。得られたファイバーごとの曲率評価で極限を取り、解消が正則な開集合上では同型であることから、有理曲線を元の $X$ へ戻してシストールを評価する。等号の場合にはファイバーがFubini–Study計量をもつ $\mathbb P^r$ となり、横方向がRicci平坦となることを追跡して積分解を得る。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2608.27433
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1, 1.2, 1.3
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction