複素微分幾何学 · 2026-08-26
Orbifold Bogomolov-Gieseker inequalities on compact Kähler varieties
コンパクトKähler多様体上のorbifold Bogomolov--Gieseker不等式 Xin Fu, Wenhao Ou xin-fu-1dir66h wenhao-ou-e68yw1 vector-bundles-sheaves stability hermite-einstein-metrics chern-classes Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Chern classes and Chern numbers Chern類・Chern数 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-Einstein Chern class Chern classes Chern number Chern numbersarXiv Abstract
In a previous paper, the orbifold Bogomolov-Gieseker inequality is proved for a stable reflexive sheaf on a compact Kähler variety with klt singularities. In this paper, we give a characterization on the stable reflexive sheaf when the Bogomolov-Gieseker equality holds.
日本語要約
先行研究では、klt特異点をもつコンパクトKähler多様体上の安定反射層に対してorbifold Bogomolov--Gieseker不等式が証明された。本論文は、その安定反射層についてBogomolov--Gieseker等号が成立する条件を特徴づける。
In a previous paper, the orbifold Bogomolov-Gieseker inequality is proved for a stable reflexive sheaf on a compact Kähler variety with klt singularities. In this paper, we give a characterization on the stable reflexive sheaf when the Bogomolov-Gieseker equality holds.
klt特異点をもつコンパクトKähler多様体上の安定反射層について、orbifold Chern類のBogomolov--Gieseker等号成立を特徴づける。第1・第2 orbifold Chern数がともに消えることと、有限準étale被覆後の反射的引き戻しがunitary flat束になることが同値である。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2511.03530
- 著者: Xin Fu, Wenhao Ou
- 初回投稿日・最終更新日: 2025年11月5日（v1）
- 主分類・副分類: Differential Geometry (math.DG), Algebraic Geometry (math.AG)
- ライセンス: CC0 1.0 Universal
要約
滑らかなコンパクトKähler多様体では、安定束に対するHermite--Einstein計量の存在と曲率計算がBogomolov--Gieseker不等式を与え、等号成立はflat性と結び付く。klt特異空間ではorbifold Chern類による不等式が既に得られていたが、等号の場合の特徴づけが残っていた。
本論文は、安定反射層の第1・第2 orbifold Chern数がKähler類に対して消えることと、有限準étale被覆上でunitary flat束になることが同値だと示す。特異空間上の数値的等号を、被覆後の微分幾何的構造へ翻訳する結果である。
解析的な核心は、特異空間のbimeromorphic orbifold model上で退化するKähler形式に関するHermite--Einstein計量を構成し、その一様評価と収束を確立する点にある。
背景と問題設定
滑らかな射影多様体 $Z$、階数 $r$ の安定束 $F$、ample因子 $H$ に対する古典的不等式は
$$ \left(c_2(F)-\frac{r-1}{2r}c_1(F)^2\right)\cdot H^{n-2}\ge 0 $$
である。論文はこれをklt特異点をもつコンパクトKähler多様体と安定反射層のorbifold Chern類へ移した状況で、等号が何を意味するかを問う。
主結果
等号成立の特徴づけ（Theorem 1.2）
$(Z,\omega)$ を次元 $n$ のkltコンパクトKähler多様体、$F$ を $\omega$-安定反射層とする。このとき次の二条件は同値である。
$$ \widehat c_2(F)\cdot[\omega]^{n-2} =\widehat c_1(F)^2\cdot[\omega]^{n-2}=0, $$
および、有限準étale被覆 $p:Z'\to Z$ が存在して反射的引き戻し $(p^*F)^{**}$ がunitary flat vector bundleになることである。結論は単なる判別式の消滅ではなく、第1 Chern数も消えるという仮定の下でのunitary flat性の特徴づけである。
証明の見取り図
先行研究のbimeromorphic map $\rho:X\to Z$ を用いて、$X$ 上の引き戻しをorbifold vector bundleとして扱う。$\rho^*\omega$ に収束するorbifold Kähler形式 $\omega_i$ と、それぞれに対応するHermite--Einstein計量 $h_i$ を取る。退化族 $(X,\omega_i)$ の一様幾何評価と、$L^1$ ノルムから $L^\infty$ ノルムを一様に制御する平均値型評価を合わせ、正規化した $h_i$ の収束を得る。極限計量に古典的曲率計算を適用し、準étale被覆後のunitary flat性へ到達する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2511.03530
- Introduction: Section 1, pp. 1–3
- Introduction中の主要定理: Theorems 1.1, 1.2
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: CC0 1.0 Universal
- source_scope: Abstract and Introduction