代数幾何学 · 2026-08-21
On a conjecture of Fujino and Sato
Fujino–Sato予想について Michele Rossi michele-rossi-vbo54s toric-geometry birational-geometry minimal-model-program Birational geometry 双有理幾何 Minimal model program 極小モデル・プログラム Toric geometry トーリック幾何arXiv Abstract
We revisit results of Fujino--Sato on complete non-projective $\mathbb Q$-factorial toric varieties and their conjectural factorization by flips. We show that their main results admit short conceptual proofs, avoiding any restriction on the dimension and the Picard number, from the general theory of Cox rings and Mori Dream Spaces, once one organizes small $\mathbb Q$-factorial modifications via the GKZ (secondary fan) decomposition of the moving cone. Moreover, we extend this viewpoint beyond the toric case by proving an analogous statement for complete $\mathbb Q$-factorial weak Mori Dream Spaces: any non-projective such variety admits a divisor $D$ and a $D$-flip to a (projective) Mori Dream Space. Our approach highlights the role of chambers and wall-crossing in the secondary fan as a unifying framework for these constructions.
日本語要約
complete non-projective $\mathbb Q$-factorial toric varietyとflipによるfactorizationを、Cox ringとmoving coneのGKZ分解から概念的に再構成する。さらにcomplete $\mathbb Q$-factorial weak Mori dream spaceにも同様の結論を拡張する。
We revisit results of Fujino--Sato on complete non-projective $\mathbb Q$-factorial toric varieties and their conjectural factorization by flips. We show that their main results admit short conceptual proofs, avoiding any restriction on the dimension and the Picard number, from the general theory of Cox rings and Mori Dream Spaces, once one organizes small $\mathbb Q$-factorial modifications via the GKZ (secondary fan) decomposition of the moving cone. Moreover, we extend this viewpoint beyond the toric case by proving an analogous statement for complete $\mathbb Q$-factorial weak Mori Dream Spaces: any non-projective such variety admits a divisor $D$ and a $D$-flip to a (projective) Mori Dream Space. Our approach highlights the role of chambers and wall-crossing in the secondary fan as a unifying framework for these constructions.
非射影complete $\mathbb Q$-factorial toric varietyをflipで射影的なものへ移すFujino–Satoの結果を、Cox ringとGKZ fanから次元・Picard数の制約なしに再証明する。さらにweak Mori dream spaceへ拡張し、適切な因子に関するflipでprojective Mori dream spaceへ到達することを示す。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2602.22947v1
- 著者: Michele Rossi
- 初回投稿日: 2026-02-26
- 最終更新日: 2026-02-26
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
completeだがprojectiveでない $\mathbb Q$-factorial toric varietyを、small modificationとflipでprojective modelへ移せるかを扱う。Fujino–Satoの既知結果をCox ringとMori dream spaceの一般論から短く導き、従来の次元・Picard数の制約を除く。
さらにtoricでないweak Mori dream spaceにも同じchamber構造が働くことを示す。moving coneのGKZ（secondary fan）分解がwall crossingを組織する。
背景と問題設定
$\mathbb Q$-factorialなMori dream spaceではCox ringの有限生成性により、divisor class spaceが有限個のMori chamberへ分解される。隣接chamber間の移動はsmall $\mathbb Q$-factorial modification、すなわち適切なflipとして解釈できる。
主結果
toric factorization（Theorem 1.1の再証明）
complete toric variety $X$ は、projectiveか、projective toric variety $X'$ へのcodimension oneで同型なbirational mapをもつ。$X$ が $\mathbb Q$-factorialなら、このmapはtoric flipの列へ分解される。
weak Mori dream spaceへの拡張（Theorem 3.1）
非projectiveなcomplete $\mathbb Q$-factorial weak Mori dream space $X$ にはdivisor $D$ が存在し、$D$-flipによってprojective Mori dream space $X'$ が得られる。
証明の見取り図
Cox ringのGIT quotientを変えるcharacterを選び、moving coneのsecondary fanで非projective chamberからprojective chamberへのwall crossingをたどる。各wall crossingをsmall modificationとして読み替えることでflip列を得る。
原論文との対応
- Introduction: pp. 1–2
- 主要結果: Theorems 1.1, 3.1
- Abstractページ: arXiv:2602.22947
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction