複素微分幾何学 · 2026-10-28

New inhomogeneous Bismut Hermitian-Einstein threefolds with large symmetry group

大きな対称群を持つ非等質Bismut Hermitian–Einstein三次元多様体

Fabio Podestà, Alberto Raffero

fabio-podesta-1713zat alberto-raffero-1buhssj curvature hermite-einstein-metrics Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Curvature geometry 曲率幾何 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-Einstein

arXiv Abstract

We study compact non-K\"ahler Bismut Hermitian-Einstein threefolds whose connected full group of holomorphic isometries acts with cohomogeneity one. We prove that the Lie algebra of this group is isomorphic to $\mathbb{R}^3\oplus\mathfrak{su}(2)$ or $\mathbb{R}^2\oplus\mathfrak{su}(2)$, unless the Bismut connection is flat. We then focus on the first case, where we determine the possible singular isotropy algebras and reduce the Bismut Hermitian-Einstein condition to a system of ordinary differential equations. We obtain explicit solutions satisfying suitable smoothness conditions, that yield families of compact and complete non-compact non-K\"ahler Bismut Hermitian-Einstein threefolds with non-constant scalar curvature and non-zero Bismut curvature, including examples on $S^3\times S^3$ and $S^3\times S^1\times\mathbb{R}^2$, respectively. We also investigate the topology of the compact examples and determine the asymptotic scalar curvature of the non-compact ones. Moreover, we prove the existence of a smooth deformation of a Bismut-flat Samelson structure on $S^3\times S^3$ through non-K\"ahler Bismut Hermitian-Einstein structures that are not Bismut-flat. The regularity of the constructed compact examples is also investigated.

日本語要約

コンパクトな非Kähler BHE三次元多様体で、正則等長変換群の連結成分がcohomogeneity oneで作用する場合、非Bismut-flatならそのLie代数はR³⊕su(2)またはR²⊕su(2)に限られる。前者を詳しく調べ、特異軌道での滑らかさを満たす明示解から非等質なコンパクト・完備非コンパクト例を得る。S³×S³上ではBismut-flatなSamelson構造から非平坦BHE構造への滑らかな変形も構成する。

We study compact non-K\"ahler Bismut Hermitian-Einstein threefolds whose connected full group of holomorphic isometries acts with cohomogeneity one. We prove that the Lie algebra of this group is isomorphic to $\mathbb{R}^3\oplus\mathfrak{su}(2)$ or $\mathbb{R}^2\oplus\mathfrak{su}(2)$, unless the Bismut connection is flat. We then focus on the first case, where we determine the possible singular isotropy algebras and reduce the Bismut Hermitian-Einstein condition to a system of ordinary differential equations. We obtain explicit solutions satisfying suitable smoothness conditions, that yield families of compact and complete non-compact non-K\"ahler Bismut Hermitian-Einstein threefolds with non-constant scalar curvature and non-zero Bismut curvature, including examples on $S^3\times S^3$ and $S^3\times S^1\times\mathbb{R}^2$, respectively. We also investigate the topology of the compact examples and determine the asymptotic scalar curvature of the non-compact ones. Moreover, we prove the existence of a smooth deformation of a Bismut-flat Samelson structure on $S^3\times S^3$ through non-K\"ahler Bismut Hermitian-Einstein structures that are not Bismut-flat. The regularity of the constructed compact examples is also investigated.

cohomogeneity oneの正則等長群作用を持つ非Kähler Bismut Hermitian–Einstein三次元多様体を研究する。非平坦な場合の対称群を制限し、常微分方程式によってコンパクト例と完備非コンパクト例を構成するとともに、S³×S³上のBismut-flat構造から非平坦構造への滑らかな変形を示す。

arXiv
2610.37102v1
初回投稿日
2026-10-27
原論文のライセンス
arXiv.org perpetual, non-exclusive license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

原論文を開く

書誌情報

要約

非Kähler複素多様体の正準計量として、pluriclosed性とBismut Ricci形式の消滅を満たすBismut Hermitian–Einstein（BHE）計量が研究されている。本論文は、大きな対称群を仮定することでその方程式を常微分方程式へ落とし、非等質な例を構成する。

まずコンパクトな三次元の場合に、非平坦性とcohomogeneity oneという条件から、正則等長群のLie代数が二種類に限られることを示す。そのうちトーラス三次元部分を持つ場合に、特異軌道の型と滑らかな延長条件を調べる。

構成された計量はスカラー曲率が一定でなく、局所等質なSamelson模型とは異なる。コンパクト例だけでなく完備な非コンパクト例も得られ、さらにBismut-flat構造を非平坦BHE構造へ滑らかに変形する結果が示される。

背景と問題設定

Hermitian多様体$(M,g,J)$の基本形式を$\omega=g(J\cdot,\cdot)$とする。Bismut接続は$g,J$を保ち、全反対称な捩率を持つ接続であり、BHE条件は

$$ dd^c\omega=0,\qquad\rho^B=0 $$

である。これはKählerの場合のRicci-flat性を広げるが、Bismut曲率全体の消滅とは異なる。cohomogeneity oneは、一般軌道の実余次元が一であることを意味する。

既知の理論は、非Kähler BHE三次元多様体に二つの可換な正則Killing場$V,JV$を与える。その横断方向のKähler幾何を使う先行研究に対し、本論文は群作用と特異軌道を中心に構成を行う。

主結果

対称群の制限（Proposition A）

コンパクト連結な非Kähler BHE三次元多様体で、連結な全正則等長群$G$がcohomogeneity oneで作用し、Bismut接続が非平坦なら

$$ \mathfrak g\simeq\mathbb R^3\oplus\mathfrak{su}(2) \quad\text{または}\quad \mathfrak g\simeq\mathbb R^2\oplus\mathfrak{su}(2) $$

となる。論文の詳細な構成は第一の場合を扱い、第二の場合は今後の研究に残す。

特異軌道の型（Proposition B）

$G=T^3\times SU(2)$が概効果的に作用する場合、主等方Lie代数は$Z+A$で張られる。ここで$Z$は中心の非零元、$A\in\mathfrak{su}(2)$も非零である。特異等方Lie代数は

$$ \mathfrak k=\mathbb R Z\oplus\mathfrak{su}(2)\quad\text{（Type I、余次元4）} $$

または

$$ \mathfrak k=\mathfrak h\oplus\mathbb R U\quad\text{（Type II、余次元2）} $$

であり、$U$は中心の非零元である。少なくとも一つの特異軌道はType IIとなる。

非等質な明示的族（Main Theorem）

$m\in\mathbb N_{>0}$と実数$a,b$、$a^2+b^2>0$で記述される非Kähler・非Bismut-flatなBHE構造の明示的族を得る。Introductionの概略では、$0<a^2+b^2\leq1$かつ$b>-1$の範囲に余次元二の特異軌道を持つ完備非コンパクト例、$a^2+b^2>1$の範囲に二つの余次元二の特異軌道を越えて延長されるコンパクト例がある。

大域化には別途等方部分群と整数条件が必要であり、これらの数値不等式だけで任意のパラメータがコンパクト多様体を与えるとは解釈しない。コンパクト例には$S^3\times S^3$上のものがあり、その中にはいかなるBismut-flat計量とも両立せず、Samelson複素構造とも双正則でない複素構造が含まれる。各例のRiemannianスカラー曲率は非定数である。

Bismut-flat構造からの変形（Theorem C）

$S^3\times S^3$上に、$\epsilon\in[0,\delta)$で滑らかに変化するBHE構造$(g_\epsilon,J_\epsilon)$が存在する。$\epsilon=0$ではBismut-flatでSamelson複素構造を持ち、$0<\epsilon<\delta$ではBismut-flatでない。孤立した例の列ではなく、平坦模型から連続的に離れる族を与える。

証明の見取り図

二つの正則Killing場が全正則等長群に保たれるため、群の中心の次元は少なくとも二となる。これと軌道の次元制約で対称群を絞る。

法線測地線に沿って不変Hermitian構造を記述し、BHE方程式を常微分方程式へ帰着する。特異軌道での滑らかさを解の初期値条件として組み込み、一つの係数が一定の解を明示的に積分する。スカラー曲率の特異軌道での値と無限遠での極限を比較し、非等質性を確かめる。

原論文との対応

  • Abstractページ: 公式arXivページ
  • Introduction: PDF — Section 1, pp. 1–3
  • Introduction中で言及された主要結果: Propositions A–B；Main Theorem；Theorem C
  • 論文構成・証明方針: 上記Introductionで述べられた範囲に基づく。後続節の証明全体の検証は行っていない。
  • 確認したarXivバージョン: 2610.37102v1
  • 確認したライセンス: arXiv.org perpetual, non-exclusive license
  • source_scope: Abstract and Introduction