複素微分幾何学 · 2026-10-14

Ricci pinching on complete Kahler manifolds

完備Kähler多様体のRicci曲率ピンチングと剛性・コンパクト性

Gang Liu, Lei Ni

gang-liu-1gqwuao lei-ni-q1ewtu curvature noncompact-kahler-geometry Curvature geometry 曲率幾何 Noncompact Kähler geometry 非コンパクトKähler幾何

arXiv Abstract

We study Ricci pinching problem on complete K\"ahler manifolds. For complete noncompact manifolds with Euclidean volume growth, we prove flatness under nonnegative bisectional curvature and Ricci pinching, and Ricci flatness under nonnegative Ricci curvature, quadratic curvature decay, and the same pinching condition. In both cases, the pinching constant may tend to zero at a logarithmic rate. Examples show that the logarithmic exponent is sharp in complex dimension two. Second part of the paper proves that a complete K\"ahler manifold of complex dimension at least two with positive holomorphic bisectional curvature is compact if its sectional curvature is nonnegative and its Ricci curvature is uniformly pinched outside a compact set. No volume-growth assumption or curvature upper bound is needed. Heat smoothing of the Busemann function supplies a strictly plurisubharmonic exhaustion with bounded gradient, so the general top Ricci-mass theorem of Datar--Pingali--Seshadri applies. The new ingridents are integral estimates for the Ricci form. The analytic arguments use scalar curvature gap theorems and a critical-$L^n$ vanishing theorem for closed real $(1,1)$-forms under nonnegative Ricci curvature and nonnegative quadratic orthogonal bisectional curvature. The Hodge-Laplace heat eqution deformation conserves the signed top-degree integral, including its initial value, while norm domination and scalar heat-semigroup decay force this integral to vanish. For semipositive initial forms this gives pointwise vanishing of the top wedge power.

日本語要約

完備Kähler多様体のRicci曲率のピンチングを調べる。Euclid的体積増大を仮定すると、非負双断面曲率の下では平坦性を、非負Ricci曲率と二次曲率減衰の下ではRicci平坦性を得る。ピンチング定数は対数的に零へ近づいてもよく、複素次元2ではその指数が鋭い。正の正則双断面曲率の場合には、コンパクト集合の外での非負断面曲率と一様Ricciピンチングからコンパクト性を示す。Ricci形式の積分評価と、閉じた実(1,1)形式の臨界可積分性における消滅が解析の中心となる。

We study Ricci pinching problem on complete K\"ahler manifolds. For complete noncompact manifolds with Euclidean volume growth, we prove flatness under nonnegative bisectional curvature and Ricci pinching, and Ricci flatness under nonnegative Ricci curvature, quadratic curvature decay, and the same pinching condition. In both cases, the pinching constant may tend to zero at a logarithmic rate. Examples show that the logarithmic exponent is sharp in complex dimension two. Second part of the paper proves that a complete K\"ahler manifold of complex dimension at least two with positive holomorphic bisectional curvature is compact if its sectional curvature is nonnegative and its Ricci curvature is uniformly pinched outside a compact set. No volume-growth assumption or curvature upper bound is needed. Heat smoothing of the Busemann function supplies a strictly plurisubharmonic exhaustion with bounded gradient, so the general top Ricci-mass theorem of Datar--Pingali--Seshadri applies. The new ingridents are integral estimates for the Ricci form. The analytic arguments use scalar curvature gap theorems and a critical-$L^n$ vanishing theorem for closed real $(1,1)$-forms under nonnegative Ricci curvature and nonnegative quadratic orthogonal bisectional curvature. The Hodge-Laplace heat eqution deformation conserves the signed top-degree integral, including its initial value, while norm domination and scalar heat-semigroup decay force this integral to vanish. For semipositive initial forms this gives pointwise vanishing of the top wedge power.

完備Kähler多様体でRicci固有値の比を制御し、Euclid的体積増大の下で平坦性またはRicci平坦性を導く。さらに正の正則双断面曲率の下で、無限遠の断面曲率と一様ピンチングから体積増大を仮定せずコンパクト性を示す。

arXiv
2610.16563v1
初回投稿日
2026-10-12
原論文のライセンス
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

Bonnet–Myersの定理はRicci曲率の一様に正の下限からコンパクト性を導く。本論文は、絶対的な下限ではなく、各点でのRicci固有値の最大値と最小値の比を制御する条件を調べる。こうしたピンチングは、曲率自体が無限遠で小さくなる可能性を残す。

第一の結果群ではEuclid的体積増大を仮定し、非負双断面曲率なら平坦性、より弱い非負Ricci曲率と二次曲率減衰ならRicci平坦性を得る。ピンチングはコンパクト集合の外だけでよく、定数を対数的に弱めることもできる。

第二の結果はコンパクト性である。正則双断面曲率が全体で正で、コンパクト集合の外で実断面曲率が非負かつRicci曲率が一様にpinchedなら、体積増大や曲率上限の仮定なしにコンパクトとなる。この定理には、第一の結果群の対数的な弱化は主張されていない。

背景と問題設定

複素次元 $n\ge2$、基点からの距離を $r(x)$ とする。Ricci endomorphismの最小・最大固有値を用い、基本条件を

$$ \operatorname{Ric}_{\min}\ge\kappa\operatorname{Ric}_{\max},\qquad\kappa>0 $$

と書く。Kählerの場合、実固有値は同じ値の対で現れるのでHermitianなRicciテンソルでも同じ比になる。Euclid的体積増大は $\lim_{R\to\infty}\operatorname{Vol}(B(p,R))/(\omega_{2n}R^{2n})>0$ を意味し、二次曲率減衰は $|\operatorname{Rm}|(x)\le C/(1+r(x))^2$ を意味する。

先行研究では閉じた非負の(1,1)形式の消滅やKähler–Ricciソリトンの剛性が調べられてきた。本論文はRicci形式の最高次積分の有限性を、ピンチングによってscalar curvatureの積分制御へ移す点を使う。

主結果

非負双断面曲率の場合（Theorem 1.1）

完備非コンパクトKähler多様体が非負双断面曲率、Euclid的体積増大、一様Ricciピンチングを満たすなら平坦である。点ごとの曲率減衰は仮定しない。

非負Ricci曲率の場合（Theorem 1.2）

完備非コンパクトKähler多様体が非負Ricci曲率、Euclid的体積増大、二次曲率減衰、一様Ricciピンチングを満たすならRicci平坦である。ここでは平坦性まで強められない。Introductionは非平坦なEguchi–Hanson計量がすべての仮定を満たすことを挙げ、二つの定理の結論の差を説明する。

対数的に弱まるピンチング（Theorem 1.3）

前二定理では、一様条件をコンパクト集合の外での

$$ \operatorname{Ric}_{\min}(x)\ge \frac{c}{\bigl(\log(2+r(x))\bigr)^{1/(n-1)}} \operatorname{Ric}_{\max}(x),\qquad c>0 $$

に置き換えられる。結論はそれぞれ平坦性、Ricci平坦性のままであり、コンパクト集合内にピンチングを仮定する必要はない。

体積増大を仮定しないコンパクト性（Theorem 1.4）

連結完備Kähler多様体の正則双断面曲率が全点で厳密に正であるとする。あるコンパクト集合の外で実断面曲率が非負、Ricci固有値の比が一様な正の下限を持つなら、多様体はコンパクトである。

ここでは正則双断面曲率の正値性を全体に要求する一方、実断面曲率とピンチングだけを無限遠の条件にできる。Euclid的体積増大も曲率の上からの評価も不要である。Introductionの注には関連する強化の可能性が述べられるが、本記事の定理の仮定はTheorem 1.4の記述に合わせる。

対数指数の鋭さを示す例（Proposition 1.5）

任意の $n\ge2$ と $\delta>0$ に対して、$\mathbb C^n$ 上に完備 $U(n)$-不変Kähler計量で、正の双断面曲率、Euclid的体積増大、二次曲率減衰を持ち、

$$ \frac{\operatorname{Ric}_{\min}(x)}{\operatorname{Ric}_{\max}(x)} \asymp\frac1{(\log r(x))^{1+\delta}} $$

となるものがある。$\asymp$ は正の定数倍の範囲で上下から比較できることを表す。複素次元2ではTheorem 1.3の指数1を大きくすると結論が壊れるので鋭い。$n\ge3$ で指数 $1/(n-1)$ が最適かどうかはこの例からは決まらない。

証明の見取り図

Euclid的体積増大の場合は、Ricci形式の最高次積分の有限性をピンチングによりscalar curvatureの積分制御へ変換し、対応するgap theoremを適用する。双断面曲率の場合とRicci曲率の場合で用いるgap theoremが異なり、それが平坦性とRicci平坦性の差に対応する。

コンパクト性については、Busemann関数を熱方程式で滑らかにし、有界勾配を持つ狭義多重劣調和なexhaustionを構成する。それによりRicci形式の最高次のmassの有限性を得る。一方、非負Ricci曲率と非負quadratic orthogonal bisectional curvatureの下で、臨界可積分性を満たす閉じた実(1,1)形式の最高次符号付き積分が消えることを、Hodge熱発展によるmass保存と長時間減衰から示す。半正値形式では最高次の外積が点ごとに消え、幾何学的正値性との矛盾を導く。

原論文との対応