代数幾何学 · 2026-10-02
Dihedral reflections and an infinite series of irrational Seshadri constants
二面体反射と無限系列の無理数Seshadri定数 Grzegorz Malara, Łukasz Merta, Justyna Szpond, Marcin Zieliński grzegorz-malara-1dlvspx ukasz-merta-j3t9ed justyna-szpond-jrx00n marcin-zielinski-16ct2tp positivity birational-geometry Birational geometry 双有理幾何 Positivity 正値性arXiv Abstract
Laface and Ugaglia recently constructed an irrational one-point Seshadri constant on the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at nine very general points by combining a dihedral orbit on $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$, a sequence of de Jonqui\`eres transformations, and a reflection argument along a $(-4)$-curve with balanced normal bundle. We show that the same mechanism extends uniformly to every odd integer $n\geq 5$. For $n=2k+1$ we prove $$ \varepsilon\bigl(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(n-4,1);p_1,\ldots,p_{2n}\bigr)=\sqrt{\frac{n-4}{n}} $$ at $2n$ very general points, and already at a very general free orbit of a fixed dihedral group of order $2n$. For every odd $n\geq 7$ this produces an explicit ample line bundle on the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at $k+7=(n+13)/2$ very general points whose one-point Seshadri constant at a very general point equals $$ 2\sqrt{n(n-4)}. $$ More precisely, after one quadratic transformation we obtain the ample divisor $$ L_n=(3n-4)H-nE_1-(n-2)(E_2+\cdots+E_5)-4(E_6+\cdots+E_{k+5})-2(E_{k+6}+E_{k+7}), $$ with $L_n^2=4n(n-4)$ and $\varepsilon(L_n;x)=\sqrt{L_n^2}$. We also isolate an abstract balanced-reflection principle underlying the construction: a nef class on a special fiber can be reflected across a rational curve of square $-2a$ whenever the curve has normal bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-a)^{\oplus 2}$ in the total space, and the reflected class is nef on very general fibers.
日本語要約
奇数$n\ge5$について$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$上の$2n$点Seshadri定数を明示的に計算する。$n\ge7$では平面の$(n+13)/2$個の非常に一般の点でのblow-up上にample divisor $L_n$を構成し、その一点Seshadri定数が$2\sqrt{n(n-4)}$であることを示す。特殊ファイバーの負曲線に関するbalanced-reflection principleも定式化する。
Laface and Ugaglia recently constructed an irrational one-point Seshadri constant on the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at nine very general points by combining a dihedral orbit on $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$, a sequence of de Jonqui\`eres transformations, and a reflection argument along a $(-4)$-curve with balanced normal bundle. We show that the same mechanism extends uniformly to every odd integer $n\geq 5$. For $n=2k+1$ we prove $$ \varepsilon\bigl(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(n-4,1);p_1,\ldots,p_{2n}\bigr)=\sqrt{\frac{n-4}{n}} $$ at $2n$ very general points, and already at a very general free orbit of a fixed dihedral group of order $2n$. For every odd $n\geq 7$ this produces an explicit ample line bundle on the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at $k+7=(n+13)/2$ very general points whose one-point Seshadri constant at a very general point equals $$ 2\sqrt{n(n-4)}. $$ More precisely, after one quadratic transformation we obtain the ample divisor $$ L_n=(3n-4)H-nE_1-(n-2)(E_2+\cdots+E_5)-4(E_6+\cdots+E_{k+5})-2(E_{k+6}+E_{k+7}), $$ with $L_n^2=4n(n-4)$ and $\varepsilon(L_n;x)=\sqrt{L_n^2}$. We also isolate an abstract balanced-reflection principle underlying the construction: a nef class on a special fiber can be reflected across a rational curve of square $-2a$ whenever the curve has normal bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-a)^{\oplus 2}$ in the total space, and the reflected class is nef on very general fibers.
二面体群軌道と変形論的反射を用い、非常に一般の点で平面をblow-upして得る有理曲面上に無理数の一点Seshadri定数を無限系列として構成する。奇数$n\ge7$について具体的なample divisorと$\varepsilon(L_n;x)=\sqrt{L_n^2}$を与える。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2610.01783
- 著者: Grzegorz Malara, Łukasz Merta, Justyna Szpond, Marcin Zieliński
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年10月01日
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
要約
Seshadri定数はample line bundleの局所正値性を測るが、無理数値を実際に構成することは難しい。本論文は既知の10点の例を、任意の奇数$n\ge5$に一様に拡張する。
$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$上の非常に一般の$2n$点について多点定数を厳密に求め、二面体群の自由軌道でも同じ等式を証明する。商と平面モデルを経由して、非常に一般の点でblow-upした有理曲面上の一点問題へ移す。
核となる新機構は、三次元全空間内でbalanced normal bundleをもつ負の有理曲線に沿う反射が、非常に一般のファイバーでnef性を保つという原理である。
背景と問題設定
曲面上では$\varepsilon(L;x)<\sqrt{L^2}$なら定数は曲線で計算され、有理数となる。従って無理数例には体積上界の等号と$L^2$が平方数でないことが必要である。
主結果
多点Seshadri定数（Theorem 1.1）
奇数$n\ge5$と非常に一般の点$p_1,\ldots,p_{2n}$に対し、
$$\varepsilon(\mathcal O_{\mathbb P^1\times\mathbb P^1}(n-4,1);p_1,\ldots,p_{2n})=\sqrt{\frac{n-4}{n}}.$$
同じ等式は固定した位数$2n$の二面体群の非常に一般の自由軌道でも成り立つ。
有理曲面上の無理数系列（Theorem 1.2）
$n=2k+1\ge7$、$X_r=\operatorname{Bl}_{p_1,\ldots,p_r}\mathbb P^2$、$r=k+7$とする。Introductionに明示された
$$L_n=(3n-4)H-nE_1-(n-2)(E_2+\cdots+E_5)-4(E_6+\cdots+E_{k+5})-2(E_{k+6}+E_{k+7})$$
はampleで、$L_n^2=4n(n-4)$かつ$\varepsilon(L_n;x)=2\sqrt{n(n-4)}$である。
証明の見取り図
de Jonquières変換の反復で無理数のnef isotropic rayを作り、二面体商から平面モデルへ移す。特殊ファイバー上の$(-4)$曲線に沿う反射のnef性保存と、最後のampleness criterionを組み合わせる。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2610.01783
- Introduction: Section 1
- Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: Creative Commons Attribution 4.0 International
- source_scope: Abstract and Introduction