代数幾何学 · 2026-10-02

Higher-Page Jacobian and Albanese Tori

高次ページのJacobianトーラスとAlbaneseトーラス

Dan Popovici, Luis Ugarte

dan-popovici-1fb4jkt luis-ugarte-1khzqey hodge-theory Hodge theory ホッジ理論

arXiv Abstract

We construct, through Hodge-theoretical methods, what we call the $E_r$-Jacobian torus, the $E_r$-Albanese torus and the $E_r$-Albanese map of any compact complex manifold that is either {\it page-(r-1)-$\partial\bar\partial$} or {\it $E_r$-sGG}. These two classes of manifolds, the former of which is contained in the latter, have been introduced recently by both authors jointly with J. Stelzig, respectively by the first-named author. A Hodge theory is also developed for the latter class of manifolds. We then apply our results to give structure theorems and an identity of algebraic dimensions in terms of the $E_r$-Albanese map and torus. Other applications result in cohomological and metrical theorems for the $6$-dimensional sphere when it is equipped either with a hypothetical complex structure or with the complex structures very recently claimed to exist in the literature. For example, we show that in the latter case no {\it strongly Gauduchon} metric exists on $S^6$.

日本語要約

$E_r$-Jacobianトーラス、$E_r$-Albaneseトーラスと対応する写像を、page-$(r-1)$-$\partial\bar\partial$多様体および$E_r$-sGG多様体に対して構成する。後者のHodge理論も整備し、Albanese写像による構造と代数次元の等式を得る。さらに複素構造を仮定した$S^6$へ応用し、近年主張された複素構造の場合にはstrongly Gauduchon計量が存在しないことを示す。

We construct, through Hodge-theoretical methods, what we call the $E_r$-Jacobian torus, the $E_r$-Albanese torus and the $E_r$-Albanese map of any compact complex manifold that is either {\it page-(r-1)-$\partial\bar\partial$} or {\it $E_r$-sGG}. These two classes of manifolds, the former of which is contained in the latter, have been introduced recently by both authors jointly with J. Stelzig, respectively by the first-named author. A Hodge theory is also developed for the latter class of manifolds. We then apply our results to give structure theorems and an identity of algebraic dimensions in terms of the $E_r$-Albanese map and torus. Other applications result in cohomological and metrical theorems for the $6$-dimensional sphere when it is equipped either with a hypothetical complex structure or with the complex structures very recently claimed to exist in the literature. For example, we show that in the latter case no {\it strongly Gauduchon} metric exists on $S^6$.

Frölicherスペクトル系列の第$r$ページを用いて、コンパクト複素多様体の$E_r$-Jacobian、$E_r$-AlbaneseトーラスおよびAlbanese写像を構成する。page-$(r-1)$-$\partial\bar\partial$多様体と$E_r$-sGG多様体に対する構造定理を与え、複素構造をもつ$S^6$への応用も導く。

arXiv
2610.02109v1
初回投稿日
2026-10-01
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Frölicherスペクトル系列が第1ページで退化しない非Kähler多様体では、古典的なHodge分解に基づくAlbanese理論をそのまま使えない。本論文は第$r$ページのコホモロジーを用い、この障害を越えるJacobian・Albanese理論を構成する。

対象はpage-$(r-1)$-$\partial\bar\partial$多様体と、それを含むより広い$E_r$-sGG多様体である。後者について弱い次数1のHodge分解を確立し、得られるAlbanese写像の正則性を示す。

複素平行化可能な場合には写像が全射正則劣浸となり、底のトーラスと元の多様体の代数次元が一致する。さらに任意の仮想的複素構造をもつ$S^6$のコホモロジー的制約と、近年主張された構造がstrongly Gauduchon計量をもたないことを導く。

背景と問題設定

古典的な$\partial\bar\partial$補題はde RhamコホモロジーとDolbeaultコホモロジーを結ぶ。本論文はこの関係をFrölicherスペクトル系列の高次ページへ移し、非Kähler領域でAlbanese理論を回復する。

主結果

弱いHodge分解（Theorem 1.1）

コンパクト複素多様体$X$が$E_r$-sGGであることは、次数1の標準写像

$$F_r:H^1_{dR}(X,\mathbb C)\longrightarrow E_r^{0,1}(X)\oplus\overline{E_r^{0,1}(X)}$$

がwell-definedな全単射であること、および$b_1(X)=2\dim_{\mathbb C}E_r^{0,1}(X)$と同値である。

$E_r$-Albanese写像（Theorem 1.2）

$E_r$-sGG多様体では$A_r:X\to\operatorname{Alb}_r(X)$が正則である。$X$が複素平行化可能なら全射正則劣浸であり、$a(\operatorname{Alb}_r(X))=a(X)$が成り立つ。

六次元球面への応用（Theorem 1.4）

任意の仮想的複素構造をもつ$S^6$はpage-2-$\partial\bar\partial$である。論文が検討する近年主張された複素構造はpage-1-$\partial\bar\partial$だが、strongly Gauduchon計量もbalanced計量ももたない。

証明の見取り図

高次ページの純型代表とde Rham類の対応から格子を取り出して複素トーラスを定義する。$E_r$-sGG条件を弱いHodge分解へ言い換えた後、積分でAlbanese写像を構成し、その正則性と平行化可能な場合の全射性を導く。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2610.02109
  • Introduction: Section 1
  • Introduction中で言及された主要定理番号: 本文の主結果節に記載
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction