代数幾何学 · 2026-10-01
Finite automorphism groups of hypersurfaces via Bott vanishing
Bott消滅による超曲面の有限自己同型群 Dominic Bunnett, Caroline Namanya dominic-bunnett-1va7p10 caroline-namanya-1vi26np fano-varieties toric-geometry Fano varieties ファノ多様体 Toric geometry トーリック幾何arXiv Abstract
We give a cohomological criterion for the automorphism group scheme of a hypersurface in a smooth Deligne-Mumford stack to be discrete in tame characteristics. The criterion converts Bott-type vanishing on the ambient stack into vanishing of infinitesimal automorphisms of every quasismooth hypersurface in a linear system. We apply it to toric orbifolds, obtain uniform finiteness results for quasismooth weighted-projective hypersurfaces in tame characteristic and hypersurfaces in products of projective spaces, and identify the precise exceptional windows in which the method fails.
日本語要約
滑らかなDeligne–Mumford stack内の超曲面について、周囲のBott型消滅から自己同型群schemeの離散性を導くコホモロジー判定を与える。tame標数の重み付き射影超曲面や射影空間の積の超曲面へ適用し、Fanoの場合には有限性を得る。
We give a cohomological criterion for the automorphism group scheme of a hypersurface in a smooth Deligne-Mumford stack to be discrete in tame characteristics. The criterion converts Bott-type vanishing on the ambient stack into vanishing of infinitesimal automorphisms of every quasismooth hypersurface in a linear system. We apply it to toric orbifolds, obtain uniform finiteness results for quasismooth weighted-projective hypersurfaces in tame characteristic and hypersurfaces in products of projective spaces, and identify the precise exceptional windows in which the method fails.
滑らかなDeligne–Mumford stack内の超曲面について、周囲のBott型消滅から自己同型群schemeの離散性を導くコホモロジー判定を与える。tame標数の重み付き射影超曲面や射影空間の積の超曲面へ適用し、Fanoの場合には有限性を得る。
algebraic-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.38572
- 著者: Dominic Bunnett, Caroline Namanya
- 初回投稿日・最終更新日: 2026年09月29日
- 主分類・副分類: math.AG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
超曲面の無限小自己同型$H^0(X,T_X)$の消滅を、周囲のstack上のtwisted differential formのコホモロジー消滅から導く。Kodaira–Spencerの方法をsmooth Deligne–Mumford stackへ拡張し、Bott型消滅で一様に検証できる判定を得る。
重み付き射影空間や射影空間の積の超曲面に適用すると、tame標数で広い次数範囲の自己同型群schemeが離散となる。Fano超曲面では有限型性と合わせて有限性が従う。
背景と問題設定
K-stable Fano多様体の自己同型群は有限であるため、有限性はK安定性の必要条件でもある。正標数ではgroup schemeが非reducedとなり得るため、単なる点集合ではなく無限小自己同型の消滅が重要となる。
主結果
離散性判定（Theorem 1.1）
$Y$を次元$n\ge2$のsmooth separated Deligne–Mumford stack、$X\hookrightarrow Y$をsmooth effective Cartier divisorとする。$L_q=\omega_Y^{-1}\otimes\mathcal O_Y(-(q+1)X)$とおき、所定のcoarse-space条件と
$$ H^q(Y,\Omega_Y^{n-q-1}\otimes L_q)= H^q(Y,\Omega_Y^{n-q-2}\otimes L_q)=0 $$
が全$q\ge0$で成り立てば、$H^0(X,T_X)=0$である。
重み付き射影超曲面（Theorem 1.2）
well-formed $\mathbb P(a_0,\ldots,a_n)$内のquasismooth well-formed次数$d$超曲面で、各$a_i$が標数で可逆、かつ$d\ge2\max a_i$とする。等号時は最大weightが一度だけ現れると仮定する。このとき$\operatorname{Aut}_{X/k}$はétaleで、$X$がFanoなら有限である。
射影空間の積（Theorem 1.3）
Introductionに列挙されたmultidegree条件を満たす滑らかな超曲面では$H^0(X,T_X)=0$であり、Fanoなら自己同型群schemeは有限である。
証明の見取り図
restriction sequenceとPoincaré residue sequenceにより$H^0(X,T_X)$を周囲のtwisted differential formのコホモロジーへ移す。toric canonical stackではcoarse space上のample Weil divisorに対するBott型消滅を使い、積の場合はBott formulaとKünneth formulaで確認する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.38572
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1–1.3
- 論文構成の説明: Introduction末尾
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction