複素微分幾何学 · 2026-09-25
A gluing construction of $Z$-extremal Kähler metrics and new examples of Bismut Hermitian-Einstein $3$-folds
$Z$-extremal Kähler計量の貼り合わせとBismut Hermitian–Einstein 3-foldの新例 Vestislav Apostolov, Abdellah Lahdili, Kuan-Hui Lee, Frédéric Rochon vestislav-apostolov-1yjucal abdellah-lahdili-1s3enzd kuan-hui-lee-1sxpd6v frederic-rochon-16ac4p0 csck-extremal-kahler-metrics hermite-einstein-metrics singularities Singularities 特異点・特異性 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 cscK and extremal Kähler metrics cscK・extremal Kähler計量 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-EinsteinarXiv Abstract
We present a gluing construction for a class of 6th order geometric non-linear PDE's on a Kähler manifold or orbifold, arising in the study of Bismut Hermitian Einstein complex $3$-folds, the supersymmetric ${\rm AdS}_3 \times Y_7$ and ${\rm AdS}_2 \times Y_9$ solutions of type IIB and $D=11$ supergravity models in physics, and in Dervan's Z-critical Kähler metrics. As applications, we obtain a desingularization theorem for orbifolds with crepant singularities admitting a solution of the PDE, as well as a blowing-up of points theorem for smooth complex $3$-folds admitting such solutions. These results yield new examples of regular Bismut Hermitian Einstein structures on the smooth manifolds $3(S^2\times S^4)\sharp 4(S^3\times S^3)$, $5(S^2\times S^4)\sharp 6(S^3\times S^3)$ and $S^1\times 9(S^2\times S^3)$, as well as infinite topological types of smooth compact $7$-dimensional manifolds $Y_7$, providing new solutions to the supersymmetric ${\rm AdS}_3 \times Y_7$ type IIB and ${\rm AdS}_2 \times T^2 \times Y^7$ type $D=11$ supergravity models.
日本語要約
Bismut Hermitian–Einstein複素3-foldなどから生じるKähler多様体・orbifold上の6階非線形方程式に対して貼り合わせ構成を与える。crepant特異点の解消定理と滑らかな複素3-foldの点爆発定理を導き、複数の滑らかな6次元多様体上にregular Bismut Hermitian–Einstein構造の新例を得る。
We present a gluing construction for a class of 6th order geometric non-linear PDE's on a Kähler manifold or orbifold, arising in the study of Bismut Hermitian Einstein complex $3$-folds, the supersymmetric ${\rm AdS}_3 \times Y_7$ and ${\rm AdS}_2 \times Y_9$ solutions of type IIB and $D=11$ supergravity models in physics, and in Dervan's Z-critical Kähler metrics. As applications, we obtain a desingularization theorem for orbifolds with crepant singularities admitting a solution of the PDE, as well as a blowing-up of points theorem for smooth complex $3$-folds admitting such solutions. These results yield new examples of regular Bismut Hermitian Einstein structures on the smooth manifolds $3(S^2\times S^4)\sharp 4(S^3\times S^3)$, $5(S^2\times S^4)\sharp 6(S^3\times S^3)$ and $S^1\times 9(S^2\times S^3)$, as well as infinite topological types of smooth compact $7$-dimensional manifolds $Y_7$, providing new solutions to the supersymmetric ${\rm AdS}_3 \times Y_7$ type IIB and ${\rm AdS}_2 \times T^2 \times Y^7$ type $D=11$ supergravity models.
Kähler多様体・orbifold上の6階方程式が定める $Z_\beta$-extremal計量について、crepant特異点の解消と3-foldの点爆発を保つ貼り合わせ定理を証明する。これを用いて、従来の局所等質例ではないregular Bismut Hermitian–Einstein複素3-foldを具体的な滑らかな6次元多様体上に構成する。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.25250v1
- 著者: Vestislav Apostolov, Abdellah Lahdili, Kuan-Hui Lee, Frédéric Rochon
- 初回投稿日・最終更新日: 2026-09-21
- 主分類: math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
Bismut Hermitian–Einstein（BHE）構造は、基本2形式が $\partial\bar\partial$-閉でBismut–Ricci形式が消える非Kähler Hermitian幾何である。quasi-regularな複素3次元の場合、その存在問題はKähler曲面上の6階方程式へ帰着される。
本論文は、この方程式を一般次元の $Z_\beta$-extremal Kähler計量として扱い、Arezzo–Pacard型の貼り合わせ理論を構築する。孤立orbifold特異点の解消と、滑らかな複素3-foldの点爆発の双方で解を作る。
応用として、regularな非Kähler BHE複素3-foldがSamelsonの局所等質幾何に限られるかという問いに否定的に答える。得られる例はBott–Chern数も明示された具体的な連結和上に存在する。
背景と問題設定
Kähler形式 $\omega_\varphi$ に対する基本量は
$$ Z_\beta(\omega_\varphi)=\Delta_\varphi R_\varphi+ \frac{R_\varphi^2}{2}-\lVert\operatorname{Rc}\varphi\rVert\varphi^2- \lVert\theta_\varphi\rVert_\varphi^2. $$
$Z_\beta$-extremal方程式は、これを位相的定数とtorus作用のmoment mapの和に等置する6階方程式である。
主結果
BHE 3-foldの新例（Theorem 3）
$3(S^2\times S^4)\sharp4(S^3\times S^3)$、$5(S^2\times S^4)\sharp6(S^3\times S^3)$、$S^1\times9(S^2\times S^3)$ はregularな非Kähler BHE構造をもつ。
特異点解消（Theorem 4）
正スカラー曲率の $Z_\beta$-extremal Kähler orbifoldの各局所解消がtorus不変ALE Ricci平坦Kähler計量をもつとき、十分小さい $\epsilon>0$ に対して解消上に正スカラー曲率の $Z_{\widehat\beta}$-extremal計量 $\widehat\omega_\epsilon$ が存在する。例外因子外では元の計量へ $C^\infty$ 収束する。
点爆発（Theorem 5）
自己同型群に関する仮定の下で、滑らかな複素3-fold上の $Z_\beta$-constant Kähler計量は有限個の点の爆発後にも、小さいKähler類の摂動として構成できる。
証明の見取り図
orbifold側の解とALE解消モデルを尺度 $\epsilon$ で貼り合わせ、線形化作用素の一様逆を構成した後、非線形誤差を解く。通常のextremal計量より高階で擬微分項も含むため、polyhomogeneous展開を備えた解析枠組みで収束と正スカラー曲率を制御する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.25250
- Introduction: Section 1, pp. 1–6
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 3, 4, 5
- 確認したarXivバージョン: 2609.25250v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction