代数幾何学 · 2026-09-25

An irregular smooth Fano fourfold in positive characteristic

正標数における不正則な滑らかなFano四次元多様体

Joe Waldron, Jakub Witaszek

joe-waldron-xxhc2y jakub-witaszek-mwen5k fano-varieties positive-characteristic foliations Positive characteristic 正標数 Fano varieties ファノ多様体 Foliations 葉層構造

arXiv Abstract

We construct an explicit smooth projective Fano fourfold $X$ over an algebraically closed field $k$ of characteristic two with $H^1(X,\mathcal{O}_X)\simeq k$. Moreover, $X$ does not admit any free rational curve, and so it is not separably uniruled. The example has been constructed using ChatGPT.

日本語要約

標数2の代数閉体上で、構造層の一次コホモロジーが消えない滑らかな射影Fano四次元多様体を具体的に構成する。さらにfree rational curveが存在せず、separably uniruledではないことを示す。構成は正則なrank-one foliationによる商を用いる。

We construct an explicit smooth projective Fano fourfold $X$ over an algebraically closed field $k$ of characteristic two with $H^1(X,\mathcal{O}_X)\simeq k$. Moreover, $X$ does not admit any free rational curve, and so it is not separably uniruled. The example has been constructed using ChatGPT.

標数2で $H^1(X,\mathcal O_X)\simeq k$ をもつ滑らかな射影Fano四次元多様体を明示的に構成する。この多様体にはfree rational curveがなく、separably uniruledでもないため、正標数の滑らかなFano多様体に関する既知の像を更新する。

arXiv
2609.29924v1
初回投稿日
2026-09-24
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

標数0ではKodaira消滅により滑らかなFano多様体の $H^i(X,\mathcal O_X)$ は $i>0$ で消える。正標数ではKodaira消滅そのものは破れるが、滑らかなFanoで構造層の高次コホモロジーが非零となる例は知られていなかった。

本論文は標数2で $H^1(X,\mathcal O_X)\simeq k$ をもつ滑らかなFano四次元多様体を構成する。次元3以下では消滅が成立するため、この例は可能な最小次元にある。

さらにこの四次元多様体にはfree rational curveが存在せず、したがってseparably uniruledではない。構造層コホモロジーと正標数Fanoの有理曲線幾何の双方に反例を与える。

背景と問題設定

正標数のFano多様体では、Frobeniusと非分離的商により標数0とは異なる現象が生じる。著者らは標数2に特有の二乗閉性をもつrank-one foliationを利用し、特異な完全交叉から滑らかな商を作る。

主結果

不正則Fano四次元多様体（Theorem A）

$k=\overline{\mathbb F}_2$ 上に滑らかで射影的かつ整なFano四次元多様体 $X$ が存在し、

$$ H^1(X,\mathcal O_X)\simeq k $$

が成り立つ。

有理曲線の非存在（Theorem B）

同じ $X$ はfree rational curveを一つももたず、特にseparably uniruledではない。

証明の見取り図

七変数の二次式 $Q$ と三次式 $C$ で完全交叉 $H=V(Q,C)\subset\mathbb P^6$ を作り、導分 $D=\sum_{i=0}^5x_i^2\partial/\partial x_i$ が定める正則rank-one foliationで商を取る。$H$ の63個の特異点が商で滑らかになり、標準束公式からFano性を、コホモロジー計算から不正則性を得る。

原論文との対応