複素微分幾何学 · 2026-09-25
The coerciveness and generalised Monge-Ampère equations
強圧性と一般化Monge–Ampère方程式 Gao Chen, Kartick Ghosh, Ziyue Wang gao-chen-15ga0ym kartick-ghosh-1syq6z ziyue-wang-1fm1qzo monge-ampere-equations Complex Monge–Ampère equations 複素Monge–Ampère方程式 Monge Ampère Monge Ampere Monge-Ampère Monge-AmperearXiv Abstract
In this paper, we prove the equivalence between coerciveness and the existence of a solution to the generalised Monge-Ampère equations for right-Noetherian polynomials satisfying several assumptions. This includes the case of strictly interlacing polynomials. In particular, we have generalised Chu-Lee's result to supercritical but not hypercritical LYZ equations.
日本語要約
right-Noetherian多項式に付随する一般化Monge–Ampère方程式を扱い、適切な強い位置条件と凹性の下で、滑らかな解の存在と汎関数の強圧性が同値であることを証明する。厳密に交錯する多項式が仮定を満たすため、従来のhypercriticalの場合を越えて超臨界LYZ方程式にも適用される。
In this paper, we prove the equivalence between coerciveness and the existence of a solution to the generalised Monge-Ampère equations for right-Noetherian polynomials satisfying several assumptions. This includes the case of strictly interlacing polynomials. In particular, we have generalised Chu-Lee's result to supercritical but not hypercritical LYZ equations.
right-Noetherian多項式から定まる一般化Monge–Ampère方程式について、解の存在と対応する汎関数の強圧性が同値であることを示す。強いstrict proper positionと凹性などを仮定し、超臨界だがhypercriticalではないLYZ方程式を含む。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.29968v1
- 著者: Gao Chen, Kartick Ghosh, Ziyue Wang
- 初回投稿日: 2026-09-24
- 最終更新日: 2026-09-24
- 主分類・副分類: math.DG
- ライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
要約
標準計量の存在を汎関数の強圧性で特徴づける問題を、right-Noetherian多項式が定める一般化Monge–Ampère方程式へ拡張する。対象はコンパクトKähler多様体上の方程式 $g_1(\chi_\varphi)=0$ である。
主定理は、強いstrict proper position、商 $g_1/g_2$ の凹性、コホモロジー条件 $V_1=0$ の下で、滑らかな解の存在と $J_1$ の $d_1$-強圧性が同値であると述べる。strictly interlacing多項式、特に超臨界だがhypercriticalではないLYZ方程式がこの枠組みに入る。
存在方向では流れと極限カレントの正則化を、逆方向では正則化測地線上の第二変分を用いる。従来のChu–Leeの適用範囲を広げる点が新しい。
背景と問題設定
J方程式やLYZ方程式では、解の存在とエネルギー汎関数の強圧性との対応が中心問題である。本論文は二つの多項式 $f_1,f_2$ と、それらの偏極から得られる $g_1,g_2$ により、この対応を統一的に記述する。
主結果
主定理（Theorem 1.1）
$f_1,f_2$ がright-Noetherianで、$f_2\prec f_1$ がstrongly strict、さらに $f_2\prec\prec f_1$、$V_1=0$ を満たすとする。このとき、$I_2(\varphi)=0$ を満たす $\varphi\in\mathcal H$ に対し、方程式 $g_1(\chi_\varphi)=0$ の解が存在することと、ある $\delta>0,C$ が存在して
$$ J_1(\varphi)\geq \delta d_1(0,\varphi)-C $$
が成り立つことは同値である。
証明の見取り図
強い位置条件により流れの長時間存在を確保し、強圧性から得る極限カレントをcompatible perturbationと局所正則化で滑らかな解へ上げる。逆向きには解を基準点とし、正則化測地線上の第二変分から強圧性評価を導く。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.29968
- Introduction: Section 1
- 確認したarXivバージョン: 2609.29968v1
- 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
- source_scope: Abstract and Introduction