複素微分幾何学 · 2026-09-24
The J-equation at the birational minimal slope
双有理最小傾斜におけるJ方程式 Junbang Liu junbang-liu-z27k7a pluripotential-theory positivity Positivity 正値性 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論arXiv Abstract
We prove the existence, uniqueness, and partial regularity outside a proper analytic subset for the Kähler current solving the $J$-equation at the birational minimal slope. This confirms Datar--Mete--Song's conjecture 1.5 in \cite{DMS26}. We introduce an analytic threshold, and prove its equivalence to the birational threshold introduced by Datar--Mete--Song. One of the key tools is the approximation of subsolution by Bergman's kernels, which is motivated by the work of Demailly on the approximation of plurisubharmonic functions with analytic singularities. As an application of the Bergman kernel approximation, we combine the results of Fang--Ma \cite{FM26} to give an analytic characterization of the $J$-null locus of a semistable pair $(α,β)$. This removes the technical assumptions in \cite{L26b}.
日本語要約
J方程式の数値条件が破れる場合にも、双有理最小傾斜で正準的な特異解が存在することを示す。解は非多重極積の意味で方程式を満たす一意なKählerカレントであり、真の解析部分集合の外では滑らかである。さらにJ-flowの大域存在と局所滑らかな収束、Bergman核近似による逆trace条件の保存を確立する。
We prove the existence, uniqueness, and partial regularity outside a proper analytic subset for the Kähler current solving the $J$-equation at the birational minimal slope. This confirms Datar--Mete--Song's conjecture 1.5 in \cite{DMS26}. We introduce an analytic threshold, and prove its equivalence to the birational threshold introduced by Datar--Mete--Song. One of the key tools is the approximation of subsolution by Bergman's kernels, which is motivated by the work of Demailly on the approximation of plurisubharmonic functions with analytic singularities. As an application of the Bergman kernel approximation, we combine the results of Fang--Ma \cite{FM26} to give an analytic characterization of the $J$-null locus of a semistable pair $(α,β)$. This removes the technical assumptions in \cite{L26b}.
コンパクトKähler多様体上で、双有理最小傾斜 $\zeta$ におけるJ方程式を解く一意なKählerカレントの存在と、真の解析部分集合外での滑らかさを示す。解析的閾値と双有理的閾値を同一視し、任意の滑らかな初期値からのJ-flowがこのカレントへ収束することも証明する。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.28411
- 著者: Junbang Liu
- 初回投稿日: 2026-09-23
- 最終更新日: 2026-09-23
- 主分類・副分類: math.DG, math.AG, math.CV
- ライセンス: CC BY 4.0
要約
コンパクトKähler多様体上で、双有理最小傾斜 $\zeta$ におけるJ方程式を解く一意なKählerカレントの存在と、真の解析部分集合外での滑らかさを示す。解析的閾値と双有理的閾値を同一視し、任意の滑らかな初期値からのJ-flowがこのカレントへ収束することも証明する。
J方程式の数値条件が破れる場合にも、双有理最小傾斜で正準的な特異解が存在することを示す。解は非多重極積の意味で方程式を満たす一意なKählerカレントであり、真の解析部分集合の外では滑らかである。さらにJ-flowの大域存在と局所滑らかな収束、Bergman核近似による逆trace条件の保存を確立する。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
本論文は、J方程式の数値条件が破れる場合にも、双有理最小傾斜で正準的な特異解が存在することを示す。Introductionは先行研究の到達点と、今回解決される問題または新たに構成される対象を区別している。
主結果
正準カレント（Theorem 1.1）
一意なKählerカレント $T\in\alpha$ が $n\omega\wedge\langle T^{n-1}\rangle=\zeta\langle T^n\rangle$ を満たし、$T\geq\omega/\zeta$ である。真の解析集合 $Z$ の外では滑らかで $\operatorname{tr}_T\omega=\zeta$ となる。
J-flow収束（Theorem 1.2）
任意の滑らかな初期Kähler計量からJ-flowは全時間存在し、$T$ へ弱収束し、$X\setminus Z$ では $C^\infty_{\mathrm{loc}}$ 収束する。
証明の見取り図
逆trace条件を保つBergman正則化により解析的閾値を双有理最小傾斜と同一視する。修正上の滑らかなJ方程式とtrace defect評価から一意性を得て、J-flowの局所評価により正則部分での収束を導く。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.28411
- Introduction: Section 1
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1, Theorem 1.2
- 確認したarXivバージョン: 2609.28411v1
- 確認したライセンス: CC BY 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction