複素微分幾何学 · 2026-09-23
The $J$-Null Locus and Local Regularity of Weak Solutions of the Semistable $J$-Equation
J-null locusと半安定J方程式の弱解の局所正則性 Hao Fang, Biao Ma hao-fang-1hnmtlr biao-ma-14u7fpu pluripotential-theory positivity Positivity 正値性 Pluripotential theory 多重ポテンシャル論arXiv Abstract
For the semistable $J$-equation, we prove that the numerical $J$-null locus coincides with the ambient $C^2$-singular locus of Murakami's weak solution. Consequently, this singular locus is a proper analytic subset with finitely many irreducible components, and the weak solution is locally smooth outside the $J$-null locus. The proof relies on two analytic ingredients. First, we establish a regularization theorem for singular $J$-subsolutions, showing that Demailly's global regularization preserves quantitative strict cone conditions. Thus, singular strict subsolutions with prescribed analytic poles can be replaced by smooth strict subsolutions away from their pole sets. Second, we derive relative a priori estimates adapted to these subsolutions: a relative $L^\infty$-estimate from determinant control and a weighted second order estimate yielding uniform $C^2$-bounds on compact subsets of the regular locus.
日本語要約
安定条件の境界にあるJ方程式の弱解の特異集合を数値的に特徴付ける。Murakamiの一意に正規化された弱解について、J-null locusが周囲の意味で $C^2$ でない点の集合と一致する。その結果、特異集合は有限個の既約成分を持つ真の解析部分集合であり、その補集合では弱解が滑らかとなる。主要な解析道具は、strict cone条件を保つDemailly型正則化と、特異劣解に相対化した $L^\infty$・二階評価である。
For the semistable $J$-equation, we prove that the numerical $J$-null locus coincides with the ambient $C^2$-singular locus of Murakami's weak solution. Consequently, this singular locus is a proper analytic subset with finitely many irreducible components, and the weak solution is locally smooth outside the $J$-null locus. The proof relies on two analytic ingredients. First, we establish a regularization theorem for singular $J$-subsolutions, showing that Demailly's global regularization preserves quantitative strict cone conditions. Thus, singular strict subsolutions with prescribed analytic poles can be replaced by smooth strict subsolutions away from their pole sets. Second, we derive relative a priori estimates adapted to these subsolutions: a relative $L^\infty$-estimate from determinant control and a weighted second order estimate yielding uniform $C^2$-bounds on compact subsets of the regular locus.
半安定J方程式の標準弱解について、数値的J-null locusが局所 $C^2$ 正則性の破れる集合と一致することを示す。特異J-劣解の正則化と相対的事前評価により、null locusの外で弱解が滑らかであることを証明する。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2609.26340
- 著者: Hao Fang, Biao Ma
- 初回投稿日: 2026-09-22
- 最終更新日: 2026-09-22
- 主分類・副分類: math.DG, math.AP, math.CV
- ライセンス: CC BY 4.0
要約
半安定J方程式の標準弱解について、数値的J-null locusが局所 $C^2$ 正則性の破れる集合と一致することを示す。特異J-劣解の正則化と相対的事前評価により、null locusの外で弱解が滑らかであることを証明する。
安定条件の境界にあるJ方程式の弱解の特異集合を数値的に特徴付ける。Murakamiの一意に正規化された弱解について、J-null locusが周囲の意味で $C^2$ でない点の集合と一致する。その結果、特異集合は有限個の既約成分を持つ真の解析部分集合であり、その補集合では弱解が滑らかとなる。主要な解析道具は、strict cone条件を保つDemailly型正則化と、特異劣解に相対化した $L^\infty$・二階評価である。
以下はAbstractとIntroductionに明記された主張と証明方針の範囲を整理したものであり、後続節の証明を独立に検証したものではない。
背景と問題設定
安定条件の境界にあるJ方程式の弱解の特異集合を数値的に特徴付ける。Introductionは従来結果の到達点と、本論文が解く未解決部分を区別して位置付ける。
主結果
Null locusによる正則性判定（Theorem 1.1）
半安定J方程式の一意な正規化弱解を $u$ とする。数値的に定義される $\operatorname{Null}_J(\alpha,\beta)$ は、$u$ が局所 $C^2$ でない点全体と一致する。したがってこの集合は有限個の既約成分を持つ真の解析部分集合であり、
$$u\in C^\infty\bigl(X\setminus\operatorname{Null}_J(\alpha,\beta)\bigr)$$
が成り立つ。
証明の見取り図
null locusに解析的極を持つstrictな特異J-劣解を作り、Demaillyのglobal regularizationが定量的strict cone条件を保つことを示す。次にdeterminant controlから相対 $L^\infty$ 評価を、重み付き二階評価からregular locusのcompact集合上一様 $C^2$ 評価を得て滑らかな収束を導く。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2609.26340
- Introduction: Section 1, pp. 1–5
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1
- 確認したarXivバージョン: 2609.26340v1
- 確認したライセンス: CC BY 4.0
- source_scope: Abstract and Introduction