代数幾何学 · 2026-09-18

Boundedness results for singular Fano varieties and applications to Cremona groups

特異Fano多様体の有界性とCremona群への応用

Stefan Kebekus

stefan-kebekus-17mfmyc fano-varieties singularities birational-geometry Singularities 特異点・特異性 Birational geometry 双有理幾何 Fano varieties ファノ多様体

arXiv Abstract

This survey paper reports on work of Birkar, who confirmed a long-standing conjecture of Alexeev and Borisov-Borisov: Fano varieties with mild singularities form a bounded family once their dimension is fixed. Following Prokhorov-Shramov, we explain how this boundedness result implies that birational automorphism groups of projective spaces satisfy the Jordan property, answering a question of Serre in the positive.

日本語要約

固定次元で特異点の程度を一様に制御したFano多様体が有界族をなすというBirkarの定理を解説する。さらにこの有界性からCremona群のJordan性が従う道筋を述べる。

This survey paper reports on work of Birkar, who confirmed a long-standing conjecture of Alexeev and Borisov-Borisov: Fano varieties with mild singularities form a bounded family once their dimension is fixed. Following Prokhorov-Shramov, we explain how this boundedness result implies that birational automorphism groups of projective spaces satisfy the Jordan property, answering a question of Serre in the positive.

Birkarによる固定次元の $\varepsilon$-lc Fano多様体の有界性定理を解説し、Prokhorov--Shramovの議論を通じてCremona群の有限部分群がJordan性を満たすことへ応用するsurveyである。BAB予想と双有理自己同型群の群論的制約を結ぶ。

arXiv
1812.04506v3
初回投稿日
2018-12-11
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Alexeev--Borisov--Borisov予想（BAB）は、次元と特異点のmildnessを固定したFano多様体が有界になると主張する。本稿はBirkarによる解決と、その双有理自己同型群への帰結を解説するsurveyである。

有界性は、反標準次数や埋め込みの複雑さを一様に制御できることを意味する。この幾何的有限性を有限群作用の制御へ移し、Cremona群のJordan性を導く。

背景と問題設定

群がJordanであるとは、有限部分群が指数を一様に有界にした可換正規部分群をもつことをいう。$\operatorname{Bir}(\mathbb P^n)$ でこの性質を示すには、Mori fiber spaceのFano型ファイバーを一様に扱う必要がある。

主結果

$\varepsilon$-lc Fanoの有界性

次元 $d$ と $\varepsilon>0$ を固定すると、$d$ 次元 $\varepsilon$-lc Fano多様体全体は有界族をなす。surveyはこのBirkarの定理を主入力として採用する。

Cremona群のJordan性

Prokhorov--Shramovの帰結として、固定次元のCremona群 $\operatorname{Bir}(\mathbb P^d)$ はJordan性をもつ。IntroductionではSerreの問いへの肯定的回答として位置付けられる。

証明の見取り図

有限群作用をequivariant MMPでMori fiber spaceへ移し、基底とFano型一般ファイバーの作用に分解する。BABによる有界性がファイバー上の有限群作用の複雑さを一様に抑え、次元帰納と群論的補題がJordan評価を与える。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:1812.04506
  • Introduction: Section 1
  • 確認したarXivバージョン: v3
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction