代数幾何学 · 2026-09-15

An algebraic comparison of $\widehat{\mathrm K}$-stability and $\mathrm K^\beta$-stability

$\widehat{\mathrm K}$安定性と$\mathrm K^\beta$安定性の代数的比較

Theodoros Stylianos Papazachariou

theodoros-stylianos-papazachariou-idutlk k-stability csck-extremal-kahler-metrics K-stability K安定性 cscK and extremal Kähler metrics cscK・extremal Kähler計量

arXiv Abstract

We establish a uniform quantitative comparison between the non-Archimedean Mabuchi functional and the Darvas--Zhang quantised Mabuchi functional. For a smooth polarised variety with finite automorphism group, we provide an algebraic proof that uniform $\widehat{\mathrm K}$-polystability is equivalent to uniform $\mathrm K^\beta$-stability for every sufficiently large rational $\beta>1$, without passing through the existence of a cscK metric. The main input is a square-root estimate for directional derivatives of non-Archimedean energies, proved by intersection theory. We also study a reduced $\mathrm{K}^\beta$-stability condition when the identity component of the polarised automorphism group is reductive and the Futaki character vanishes. We conclude by characterising K-semistability in terms of asymptotic $\mathrm K^\beta$-semistability and prove the quantitative convergence of the corresponding stability thresholds.

日本語要約

非Archimedes的Mabuchi汎関数とDarvas--Zhangの量子化Mabuchi汎関数の間に、一様で定量的な比較を与える。滑らかな偏極多様体の自己同型群が有限なら、一様$\widehat{\mathrm K}$多安定性と、十分大きい有理数$\beta>1$に対する一様$\mathrm K^\beta$安定性とが同値であることを代数的に証明する。主要な道具は、交点理論から得られる非Archimedes的エネルギーの方向微分の平方根型評価である。さらに自己同型群の単位成分が簡約的でFutaki指標が消える場合の還元$\mathrm K^\beta$安定性を扱い、K半安定性の漸近的特徴づけと安定性閾値の定量的収束を示す。

We establish a uniform quantitative comparison between the non-Archimedean Mabuchi functional and the Darvas--Zhang quantised Mabuchi functional. For a smooth polarised variety with finite automorphism group, we provide an algebraic proof that uniform $\widehat{\mathrm K}$-polystability is equivalent to uniform $\mathrm K^\beta$-stability for every sufficiently large rational $\beta>1$, without passing through the existence of a cscK metric. The main input is a square-root estimate for directional derivatives of non-Archimedean energies, proved by intersection theory. We also study a reduced $\mathrm{K}^\beta$-stability condition when the identity component of the polarised automorphism group is reductive and the Futaki character vanishes. We conclude by characterising K-semistability in terms of asymptotic $\mathrm K^\beta$-semistability and prove the quantitative convergence of the corresponding stability thresholds.

滑らかな偏極多様体に対する一様$\widehat{\mathrm K}$多安定性と一様$\mathrm K^\beta$安定性を、cscK計量の存在を経由せず代数的に比較する。非Archimedes的エネルギーの方向微分に対する平方根型評価を用い、有限自己同型群の場合の同値性、還元版の同値性、安定性閾値の収束を導く。

arXiv
2609.15333v1
初回投稿日
2026-09-14
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

一般の偏極多様体に対する古典的なYau--Tian--Donaldson予想では、K多安定性だけではcscK計量の存在を捉え切れない例が知られるようになった。そこで、テスト配置の距離完備化まで検査対象を広げる$\widehat{\mathrm K}$安定性と、量子化Mabuchi汎関数に基づく$\mathrm K^\beta$安定性という二つの強化が重要になる。

本論文は、滑らかな偏極多様体$(X,L)$の自己同型群の単位成分が自明な場合、一様$\widehat{\mathrm K}$多安定性と一様$\mathrm K^\beta$安定性が同値であることを示す。従来は両者をcscK計量の存在を介して結べたが、ここでは交点理論と非Archimedes的エネルギーの直接比較だけで証明する。

技術的核心は、非Archimedes的エネルギーの方向微分の差をエネルギー差の平方根で抑える評価である。この評価から量子化Mabuchi汎関数の一様下界を得て、さらに還元安定性と半安定性閾値の極限まで同じ枠組みで扱う。

背景と問題設定

$\mathcal H^{\mathrm{NA}}$をFubini--Study型非Archimedes的計量の空間、$\mathcal E^{1,\mathrm{NA}}$をDarvas距離によるその完備化とする。$\widehat{\mathrm K}$多安定性は、非Archimedes的Mabuchi汎関数$K^{\mathrm{NA}}$をこの完備化上で検査する。一方、$\mathrm K^\beta$安定性は、Darvas--Zhangの交点理論的$\beta$-Mabuchi汎関数$K_\beta$をテスト配置上で評価する。

Introductionが掲げる課題は、既知の解析的存在定理を用いず、$K^{\mathrm{NA}}$の一様下界から$K_\beta$の一様下界を直接導くことである。

主結果

一様安定性の同値（Theorem 1.1）

$\operatorname{Aut}_0(X,L)={1}$なら、次の三条件は同値である。

  1. $(X,L)$は一様$\widehat{\mathrm K}$多安定である。
  2. 十分大きいすべての有理数$\beta$について一様$\mathrm K^\beta$安定である。
  3. ある有理数$\beta>1$について一様$\mathrm K^\beta$安定である。

方向微分の平方根型評価（Theorem 1.2）

任意の$\theta\in N^1(X)\mathbb R$に対し、$(X,L)$と$\theta$だけに依存する定数$C\theta>0$が存在する。$\phi\leq\psi$、$\sup\phi=\sup\psi=0$を満たす半正値PL計量$\phi$について、

$$ |\nabla_\theta E^{\mathrm{NA}}(\psi)-\nabla_\theta E^{\mathrm{NA}}(\phi)| \leq C_\theta\bigl(E^{\mathrm{NA}}(\psi)-E^{\mathrm{NA}}(\phi)\bigr)^{1/2} J^{\mathrm{NA}}(\phi)^{1/2} $$

が成り立つ。この評価が$O(\beta^{-1/2})$の誤差制御を与える。

還元安定性と閾値（Theorem 1.3, Theorem 1.4, Corollary 1.5）

$\operatorname{Aut}0(X,L)$が簡約的でFutaki指標が消える場合、一様$\widehat{\mathrm K}$多安定性は、十分大きいすべての$\beta$、またはある$\beta>1$に対する一様還元$\mathrm K^\beta$多安定性と同値である。またK半安定なら、$\varepsilon\beta\to0$を満たす数列により

$$ \lambda_\infty-\varepsilon_\beta\leq\lambda_\beta\leq\lambda_\infty, \qquad \lambda_\beta\nearrow\lambda_\infty $$

となる。したがってK半安定性は漸近的$\mathrm K^\beta$半安定性と同値である。

証明の見取り図

テスト配置の計量$\phi_{\mathcal T}$から、対数食い違い障害のpsh包絡$\phi_\beta$を作る。一様$\widehat{\mathrm K}$安定性は$K^{\mathrm{NA}}(\phi_\beta)$を下から抑えるため、目標はこの量から$K_\beta(\phi_{\mathcal T})$へ移る際の損失を一様に制御することである。

共通の優越モデル上で相対Hodge指数定理を適用し、交点数の表示からTheorem 1.2を得る。これをTrusianiの近似法と組み合わせると

$$ K_\beta(\phi_{\mathcal T})\geq(\Lambda-\varepsilon_\beta)|\phi_{\mathcal T}|1, \qquad \varepsilon\beta\to0 $$

が従う。$\Lambda>0$なら十分大きい$\beta$で一様下界が残り、逆向きは$K_\beta\leq K^{\mathrm{NA}}$と既知の一様安定性比較から導かれる。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2609.15333
  • Introduction: Section 1, pp. 1--4
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1--1.4, Corollary 1.5
  • 論文構成の説明: p. 4
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction