代数幾何学 · 2026-08-24

A Remark on Stability Conditions on Smooth Projective Varieties

滑らかな射影多様体上の安定性条件に関する注意

Chunyi Li

chunyi-li-10qkdam stability vector-bundles-sheaves Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Stability of bundles and sheaves 束・層の安定性

arXiv Abstract

Let $X$ be a smooth projective variety over $\mathbb C$. In this paper, we prove that $\mathrm{D}^b(X)$, the bounded derived category of coherent sheaves on $X$, always admits stability conditions in the sense of Bridgeland.

日本語要約

$X$ を複素数体上の滑らかな射影多様体とする。本論文は、$X$ 上の連接層の有界導来圏 $\mathrm D^b(X)$ が常にBridgelandの意味での安定性条件をもつことを示す。

Let $X$ be a smooth projective variety over $\mathbb C$. In this paper, we prove that $\mathrm{D}^b(X)$, the bounded derived category of coherent sheaves on $X$, always admits stability conditions in the sense of Bridgeland.

任意の複素滑らかな射影多様体 $X$ について、導来圏 $D^b(X)$ にBridgeland安定性条件が存在することを示す。楕円曲線の積上の安定性条件を有限射で射影空間へ降ろし、さらに閉埋込みを通じて一般の $X$ へ誘導する構成である。

arXiv
2601.22994v1
初回投稿日
2026-01-30
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

三角圏上のBridgeland安定性条件が存在すれば、その全体は自然に複素多様体をなす。しかし高次元射影多様体の導来圏については、そもそも安定性条件が一つでも存在するかが基本的な問題である。

本論文は任意の複素滑らかな射影多様体に対して存在を肯定する。出発点は楕円曲線 $E$ の積 $E^n$ 上で既知の安定性条件であり、有限商 $E^n\to\mathbb P^n$ を経て射影空間へ安定性条件を降ろす。

次に任意の閉埋込み $X\hookrightarrow\mathbb P^n$ に沿って安定性条件を誘導する。Bayer propertyとRestriction-$N$ propertyという二つの比較条件が、有限射と閉埋込みを通じた構成を可能にする。

背景と問題設定

安定性条件はslicing $\mathcal P$ とcentral charge $Z:K_0(\mathcal T)\to\mathbb C$ の組であり、Harder–Narasimhan filtrationとsupport propertyを要求する。support propertyの一つの表示は、半安定対象 $E$ に対する

$$ |Z(v(E))|\ge C_\sigma|v(E)| $$

である。問題は $\mathcal T=D^b(X)$ に対してこのデータを具体的に構成することである。

主結果

全ての滑らかな射影多様体上での存在（Theorem 1.1）

$X$ を $\mathbb C$ 上の任意の滑らかな射影多様体とする。このとき

$$ \operatorname{Stab}(D^b(X))\ne\varnothing $$

である。すなわち、次元や幾何型に追加条件を課さず、連接層の有界導来圏にBridgeland安定性条件が存在する。

証明の見取り図

Introductionは四段階を明示する。第一に、楕円曲線の積上の既知の安定性条件がBayer propertyを満たす。第二に、parameterを十分大きく取ると任意の指定された $N$ に対するRestriction-$N$ propertyも得る。

第三に、有限商

$$ E^n\longrightarrow E^n/((\mathbb Z/2\mathbb Z)^n\rtimes S_n)\simeq\mathbb P^n $$

を用いて安定性条件を $\mathbb P^n$ へ降ろす。ここでは $(\mathbb P^1)^n\to\mathbb P^n$ に関するsheafを対称群のgraphに対応する商をもつfiltrationへ分解し、有限射による誘導条件を検証する。最後に、閉埋込み $X\hookrightarrow\mathbb P^n$ と二つのpropertyを使い、$X$ 上へ安定性条件を誘導する。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2601.22994
  • Introduction: Section 1, pp. 1–4
  • Introduction中で言及された主要定理番号: Theorem 1.1（証明の四段階として Lemma 2.3, Proposition 5.4, Theorems 6.3, 6.5）
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction