複素微分幾何学 · 2026-08-21

Positive scalar curvature Kähler metrics and shifted $K$-stability

正scalar曲率Kähler計量とshifted K-stability

Zehao Sha

zehao-sha-v6bi8q k-stability curvature K-stability K安定性 Curvature geometry 曲率幾何

arXiv Abstract

In this paper, we show that the quantitative data underlying $K$-stability, originally developed in the study of canonical metrics, also detect the existence of positive scalar curvature Kähler metrics in a fixed class.

日本語要約

$K$-stabilityの定量的不変量が固定Kähler類における正scalar曲率計量の存在を検出することを示す。shifted stabilityとPSC thresholdを導入し、polarized settingではそのtranscendental版とnon-Archimedean版が一致する。

In this paper, we show that the quantitative data underlying $K$-stability, originally developed in the study of canonical metrics, also detect the existence of positive scalar curvature Kähler metrics in a fixed class.

正scalar曲率Kähler計量の存在をshifted $K$-stabilityで特徴づけ、最適な安定性定数をPSC thresholdとして定式化する。polarizedの場合にはtranscendental thresholdとnon-Archimedean thresholdが一致し、cscK存在との境界も明確になる。

arXiv
2608.20030v1
初回投稿日
2026-08-20
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
differential-geometry 2026

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書誌情報

要約

canonical metricの存在を検出してきた$K$-stabilityの数値を、正scalar曲率という開いた曲率条件へ適用する。Mabuchi型functionalに平均scalar曲率によるshiftを加え、test configurationに沿う一様正値性を定める。

正の平均scalar曲率をもつKähler類では、正scalar曲率計量の存在とshifted $K_\beta$-stability、PSC thresholdの正値性が同値である。

背景と問題設定

Kähler test configuration $\mathcal T$ に対しshifted functional $F_\beta$ を用い、$F_\beta(\mathcal T)\geq\delta J(\mathcal T)$ をshifted stabilityとする。最適値を

$$ \sigma(X,\alpha):=\sup_{\beta>0}\inf_{J(\mathcal T)>0}\frac{F_\beta(\mathcal T)}{J(\mathcal T)} $$

と定める。

主結果

metric存在と安定性（Theorem 1.1）

$X$ をcompact Kähler、$\alpha$ を平均scalar曲率が正のreal Kähler classとする。$\alpha$ が正scalar曲率Kähler計量を含むこと、ある $\beta>0$ に対するshifted $K_\beta$-stability、$\sigma(X,\alpha)>0$ は同値である。

thresholdの一致（Theorem 1.2）

polarized manifold $(X,L)$ では

$$ \sigma(X,2\pi c_1(L))=\widehat\sigma(X,L) $$

が成り立つ。Corollary 1.3では $\sigma>0$ が正scalar曲率計量、$\sigma>\bar s$ が一意なcscK計量の存在を特徴づける。

証明の見取り図

有限energy geodesic rayとKähler test configurationをfunctionalのslopeで結び、entropy regularizationによって一般のnon-Archimedean potentialをample test configurationで近似する。これによりtranscendentalなcoercivity定数とnon-Archimedean infimumを同定する。

原論文との対応

  • Introduction: Section 1, pp. 1–5
  • 主要結果: Theorems 1.1, 1.2; Corollary 1.3
  • Abstractページ: arXiv:2608.20030
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction