代数幾何学 · 2026-08-21

The map to the orbifold base need not be an orbifold map

orbifold底への写像はorbifold写像とは限らない

Finn Bartsch

finn-bartsch-1r4lh93 hyperbolicity Hyperbolicity 双曲性

arXiv Abstract

We give an explicit example of a fibration $f \colon X \to Y$ between smooth projective varieties whose "orbifold base" $Δ_f$ in the sense of Campana has the property that the induced morphism $X \to (Y, Δ_f)$ is not a morphism of C-pairs (i.e., it is not an "orbifold morphism"). We however also show that this cannot happen if $f$ is "neat" and $(Y, Δ_f)$ is sufficiently well-behaved. Finally, we discuss the implications of this statement towards conjectures of Campana aiming to give algebro-geometric characterizations of those varieties which either admit a dense entire curve or a potentially dense set of integral points.

日本語要約

滑らかな射影多様体間のfibrationでも、Campanaの意味で定まるorbifold底への誘導写像がC-pairの射にならない明示例を与える。neatな射と十分良い境界の下ではこの問題が起こらないことを示し、稠密な整曲線や整点に関するCampana予想との関係を論じる。

We give an explicit example of a fibration $f \colon X \to Y$ between smooth projective varieties whose "orbifold base" $Δ_f$ in the sense of Campana has the property that the induced morphism $X \to (Y, Δ_f)$ is not a morphism of C-pairs (i.e., it is not an "orbifold morphism"). We however also show that this cannot happen if $f$ is "neat" and $(Y, Δ_f)$ is sufficiently well-behaved. Finally, we discuss the implications of this statement towards conjectures of Campana aiming to give algebro-geometric characterizations of those varieties which either admit a dense entire curve or a potentially dense set of integral points.

Campanaのorbifold底を与える射がC-pairの射になるとは限らないことを、滑らかな射影三次元多様体から曲面への明示例で示す。一方、射がneatで底の境界が単純正規交差ならC-pairの射になることを証明し、Campanaの特殊性をめぐる予想への含意を整理する。

arXiv
2603.06083v1
初回投稿日
2026-03-06
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Campanaのorbifold底は、fibrationの多重ファイバーを境界因子に記録する。しかし、元の射がその境界の多重度条件を満たすC-pair morphismになることは定義から自動ではない。

本論文は、滑らかな射影三次元多様体から滑らかな射影曲面への連結ファイバーをもつ全射で、この期待が破れる例を構成する。一方、neatnessと底の境界の単純正規交差を仮定すれば誘導写像はC-pair morphismになる。

この注意点は、orbifold版Green–Griffiths–Lang予想やBombieri–Lang予想からCampanaの特殊性予想を導く論理に必要である。後二つの帰結は対応する予想を仮定した条件付き主張である。

背景と問題設定

射 $f:X\to Y$ のorbifold底 $(Y,\Delta_f)$ は多重ファイバーの情報を保持する。問題は、$f$ が自動的に $X\to(Y,\Delta_f)$ というC-pair morphismを与えるかである。因子が底の余次元2以上へ収縮されると、多重度条件が崩れ得る。

主結果

反例（Theorem A）

滑らかな射影三次元多様体 $X$ から滑らかな射影曲面 $Y$ への連結ファイバーをもつ全射 $f$ で、$X\to(Y,\Delta_f)$ がC-pair morphismでないものが存在する。

neatな射に対する肯定結果（Theorem B）

$f:X\to Y$ を滑らかな多様体間のdominant morphismとし、$Y$ はquasi-projective、$f$ はneat、$\Delta_f$ の台は単純正規交差とする。このとき $f$ は $X\to(Y,\Delta_f)$ というC-pair morphismを定める。

条件付き帰結（Theorems C, D）

適切な次元までのC-pair版Green–Griffiths–Lang予想を仮定すると、Zariski稠密な整曲線をもつ多様体の任意の特異点解消はCampana-specialである。Bombieri–Lang版の仮定からは、potentially denseな整点をもつ場合の同様の結論を得る。

原論文との対応

  • Introduction: Section 1, pp. 1–3
  • 主要結果: Theorems A–D
  • Abstractページ: arXiv:2603.06083
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • 確認したライセンス: arXiv non-exclusive distribution license
  • source_scope: Abstract and Introduction