代数幾何学 · 2026-08-06

A solution to the Yau-Tian-Donaldson Conjecture through Special Fujita Approximations

特殊Fujita近似によるYau--Tian--Donaldson予想の解決

Antonio Trusiani

antonio-trusiani-tjw10w positivity k-stability Positivity 正値性 K-stability K安定性

arXiv Abstract

We show that any big line bundle on a smooth projective variety admits a special Fujita approximation: the volume and the first Riemann-Roch coefficient are both approximated by those of ample $\mathbb{Q}$-line bundles on higher models. Exploiting previous works by Boucksom, Jonsson and Li, we solve the Boucksom-Jonsson Regularization Conjecture on the Non-Archimedean entropy functional. As a main consequence, we obtain a solution to the (uniform version of the) Yau-Tian-Donaldson Conjecture: a polarized smooth projective variety $(X,L)$ admits a cscK metric if and only if it is $\mathrm{Aut}^\circ(X,L)$-uniformly $K$-stable. This extends the known Yau-Tian-Donaldson correspondence for smooth Fano varieties.

日本語要約

滑らかな射影多様体上の任意のbig line bundleについて、体積と第1 Riemann--Roch係数をともに高次モデル上のampleな有理直線束で近似できることを示す。この特殊Fujita近似により、非Archimedes的entropyに関するBoucksom--Jonsson正則化予想を解決する。既存の変分理論と組み合わせ、滑らかな偏極射影多様体がcscK計量を持つことと、自己同型群に相対的な一様K安定性が同値であることを導く。

We show that any big line bundle on a smooth projective variety admits a special Fujita approximation: the volume and the first Riemann-Roch coefficient are both approximated by those of ample $\mathbb{Q}$-line bundles on higher models. Exploiting previous works by Boucksom, Jonsson and Li, we solve the Boucksom-Jonsson Regularization Conjecture on the Non-Archimedean entropy functional. As a main consequence, we obtain a solution to the (uniform version of the) Yau-Tian-Donaldson Conjecture: a polarized smooth projective variety $(X,L)$ admits a cscK metric if and only if it is $\mathrm{Aut}^\circ(X,L)$-uniformly $K$-stable. This extends the known Yau-Tian-Donaldson correspondence for smooth Fano varieties.

big line bundleの体積だけでなく第1 Riemann--Roch係数も近似する特殊Fujita近似の存在を証明する。これにより非Archimedes的entropyの正則化予想を解き、滑らかな偏極射影多様体のcscK計量の存在と自己同型群に相対的な一様K安定性の同値を導く。

arXiv
2605.30063v1
初回投稿日
2026-05-28
原論文のライセンス
arXiv non-exclusive distribution license
掲載形式
Abstract・Introductionに基づく日本語要約
タグ
algebraic-geometry 2026

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書誌情報

要約

Yau--Tian--Donaldson（YTD）予想は、偏極多様体における定スカラー曲率Kähler（cscK）計量の存在を代数的なK安定性で特徴づけようとする。本論文は滑らかな一般偏極の場合に、$\operatorname{Aut}^\circ(X,L)$-一様K安定性との同値を得る。

中心となる新結果はFujita近似の精密化である。古典的近似はbig line bundleの体積をampleな有理直線束で近似するが、ここでは標準因子との交点数、すなわち第1 Riemann--Roch係数も同時に収束させる。

この追加の収束はbig test configurationの非Archimedes的entropyをample test configurationのentropyで近似するためにちょうど必要であり、Boucksom--Jonsson正則化予想を解決する。それによって通常の一様K安定性と「modelsに対する」強い安定性との隔たりを埋め、既存のMabuchi汎関数の強圧性・cscK存在理論へ接続する。

背景と問題設定

自己同型がある場合、積test configurationがDonaldson--Futaki不変量を消してしまうため、安定性は自己同型群によるtwistを差し引いた相対的一様性として定式化される。従来、非Archimedes的完備化の全要素やbig modelを含む強い安定性からcscK存在を導けたが、ample test configurationだけを検査する通常の定義との同値が正則化問題に阻まれていた。

主結果

Yau--Tian--Donaldson対応（Theorem A）

$L\to X$ を滑らかな射影多様体上のample line bundleとする。このとき次は同値である。

  1. $c_1(L)$ にcscK計量が存在する。
  2. $(X,L)$ は $\operatorname{Aut}^\circ(X,L)$-一様K安定である。

とくに $\operatorname{Aut}^\circ(X,L)$ が自明なら、cscK計量の一意存在と一様K安定性が同値になる。

特殊Fujita近似（Theorem B）

$L$ を滑らかな $n$ 次元射影多様体 $X$ 上のbig line bundleとする。双有理射 $p_k:Y_k\to X$、ampleな $\mathbf Q$-line bundle $L_k$、有効 $\mathbf Q$-因子 $E_k$ を

$$p_k^*L=L_k+E_k,$$

$$L_k^n\longrightarrow\operatorname{Vol}(L),$$

$$L_k^{n-1}\cdot K_{Y_k}\longrightarrow\langle L^{n-1}\rangle\cdot K_X$$

となるように取れる。還元的群 $G$ による線形化があれば、データも $G$-equivariantに選べる。第3の収束が古典的Fujita近似に加わる新規点である。

非Archimedes的entropyの正則化（Corollary A）

支配的でsimple normal crossingな $G$-equivariant modelは、それを支配する滑らかなample test configuration列で近似でき、非Archimedes的entropyも

$$H^{\mathrm{NA}}(\mathcal X_k,\mathcal L_k)\longrightarrow H^{\mathrm{NA}}(\mathcal X,\mathcal L)$$

と収束する。これがTheorem Aへ至る正則化の橋である。

weighted relative版（Theorem C）

正の重み $(v,w)$ について、weighted relative Mabuchi汎関数の $T^{\mathbf C}$-強圧性と $T^{\mathbf C}$-一様weighted relative K安定性が同値である。$v$ がlog-concaveなら、これはweighted extremal Kähler計量の存在とも同値になる。

証明の見取り図

近似データを固定多様体 $X$ 上の解析特異点を持つ $\theta$-psh関数として符号化する。normalized blow-upに対するdiscrepancyをmultiplier idealで評価し、相対標準因子との交点数を非pluripolar積へ読み替える。適切なbase ideal列とorthogonality estimateにより誤差を0へ収束させ、Theorem Bを得る。これをbig modelへ適用するとentropy正則化が従い、既存の「modelsに対する安定性からMabuchi強圧性、さらにcscK存在へ」という結果と連結してTheorem Aを得る。

原論文との対応

  • Abstractページ: arXiv:2605.30063v1
  • Introduction: Section 1, pp. 1–7
  • 主要結果: Theorems A–C, Corollaries A–B
  • 確認したarXivバージョン: v1
  • source_scope: Abstract and Introduction