複素微分幾何学 · 2026-08-06
The prescribed Hermitian-Yang-Mills flow II
指定Hermitian--Yang--Mills flow II Zhiyao Xiong, Xiaokui Yang, Shing-Tung Yau zhiyao-xiong-l1tgra xiaokui-yang-1mk2wyy shing-tung-yau-14wj13s vector-bundles-sheaves hermite-einstein-metrics curvature fano-varieties Vector bundles and sheaves ベクトル束・層 Hermite–Einstein metrics Hermite–Einstein計量 Curvature geometry 曲率幾何 Fano varieties ファノ多様体 Hermite Einstein Hermite-Einstein Hermitian Einstein Hermitian-EinsteinarXiv Abstract
We prove an analogue of the classical Donaldson-Uhlenbeck-Yau theorem by using the prescribed Hermitian-Yang-Mills flow. Let $E$ be a holomorphic vector bundle over a compact Kähler manifold $(M,ω_g)$. Suppose that for every proper coherent subsheaf $F\subset E$, the following inequality holds: $$ deg_{ω_g}(F)<deg_{ω_g}(E). $$ Then, for any initial Hermitian metric $h_0$ on $E$ and any positive-definite Hermitian tensor $P\in Γ(M,E^*\otimes \overline E^*)$, the prescribed Hermitian-Yang-Mills flow $$ \ \frac{\partial h}{\partial t} = -Λ_{ω_g}\left(\sqrt{-1}\, R^h\right) + P, $$ admits a global smooth solution on $[0,\infty)$. Moreover, as $t\rightarrow\infty$, the flow converges smoothly to a Hermitian metric $h_\infty$ on $E$ satisfying $$ Λ_{ω_g}\left(\sqrt{-1}\, R^{h_\infty}\right) = P. $$ As an application, we establish that on a Fano manifold $M$, for any Hermitian metric form $ω$ and any positive-definite Hermitian tensor $P\inΓ(M,T^{*1,0}M\otimes T^{*0,1}M)$, there exists a unique Hermitian metric tensor $h$ on $T^{1,0}M$ such that $$ Λ_ω\left(\sqrt R^h\right)=P.$$ This may be viewed as an analogue of the Calabi-Yau theorem for Fano manifolds.
日本語要約
任意の真の整合部分層 $\mathcal F\subset E$ が $\deg(\mathcal F)<\deg(E)$ を満たすとき、正定値Hermitian tensor $P$ を指定したHermitian--Yang--Mills flowが全時間存在し、$\Lambda_\omega(\sqrt{-1}R^h)=P$ の解へ滑らかに収束する。Fano多様体などの接束に適用し、指定tensorをもつ計量の存在と一意性を得る。
We prove an analogue of the classical Donaldson-Uhlenbeck-Yau theorem by using the prescribed Hermitian-Yang-Mills flow. Let $E$ be a holomorphic vector bundle over a compact Kähler manifold $(M,ω_g)$. Suppose that for every proper coherent subsheaf $F\subset E$, the following inequality holds: $$ deg_{ω_g}(F)<deg_{ω_g}(E). $$ Then, for any initial Hermitian metric $h_0$ on $E$ and any positive-definite Hermitian tensor $P\in Γ(M,E^*\otimes \overline E^*)$, the prescribed Hermitian-Yang-Mills flow $$ \ \frac{\partial h}{\partial t} = -Λ_{ω_g}\left(\sqrt{-1}\, R^h\right) + P, $$ admits a global smooth solution on $[0,\infty)$. Moreover, as $t\rightarrow\infty$, the flow converges smoothly to a Hermitian metric $h_\infty$ on $E$ satisfying $$ Λ_{ω_g}\left(\sqrt{-1}\, R^{h_\infty}\right) = P. $$ As an application, we establish that on a Fano manifold $M$, for any Hermitian metric form $ω$ and any positive-definite Hermitian tensor $P\inΓ(M,T^{*1,0}M\otimes T^{*0,1}M)$, there exists a unique Hermitian metric tensor $h$ on $T^{1,0}M$ such that $$ Λ_ω\left(\sqrt R^h\right)=P.$$ This may be viewed as an analogue of the Calabi-Yau theorem for Fano manifolds.
指定Hermitian--Yang--Mills flowを、微分幾何的仮定ではなく層の次数条件の下で収束させる。極限は指定曲率tensor方程式を解き、Fano多様体や有理連結多様体の接束に対する存在・一意性へ応用される。
differential-geometry 2026書誌情報
- arXiv: arXiv:2606.21073v1
- 著者: Zhiyao Xiong, Xiaokui Yang, Shing-Tung Yau
- 初回投稿日: 2026年6月19日
- 最終更新日: 2026年6月19日（v1）
- 主分類・副分類: Differential Geometry (math.DG)
- ライセンス: CC0 1.0 Universal
要約
Hermitian--Einstein方程式が安定性と結び付くのに対し、本論文は曲率縮約全体を与えられたtensor $P$ に一致させる方程式を扱う。これはvector bundle版の指定Ricci曲率問題とみなされる。
著者らの先行研究では微分幾何的仮定の下でflowを収束させた。本論文は、全ての真の整合部分層の次数が $E$ の次数より小さいという代数幾何的条件から収束を導く。
さらにquotientの行列式のpseudo-effectivityによる可解性の特徴づけを与え、ample束、Fano多様体、有理連結多様体の接束へ適用する。
背景と問題設定
指定方程式とflowは
$$ \Lambda_{\omega_g}(\sqrt{-1}R^h)=P, \qquad \frac{\partial h}{\partial t}=-\Lambda_{\omega_g}(\sqrt{-1}R^h)+P $$
である。通常のslope安定性のrankで割った不等式とは異なり、主定理の仮定は $\deg_{\omega_g}(\mathcal F)<\deg_{\omega_g}(E)$ という強い次数条件である。
主結果
大域存在と収束（Theorem 1.1）
$\partial\bar\partial\omega_g^{n-1}=0$ を満たすcompact Hermitian多様体上で、全ての真の整合部分層 $\mathcal F\subset E$ が
$$ \deg_{\omega_g}(\mathcal F)<\deg_{\omega_g}(E) $$
を満たすとする。任意の初期計量と正定値 $P$ に対してflowは一意な大域滑らかな解をもち、$t\to\infty$ で指定方程式の解へ滑らかに収束する。
代数幾何的特徴づけ（Theorem 1.3）
compact complex多様体上の束 $E$ について、全ての非零整合quotient $\mathcal Q$ の $\det(\mathcal Q^{**})$ がpseudo-effectiveだがunitary flatではないことと、任意のHermitian form $\omega$ および（準）正定値 $P$ に指定方程式の一意解があることが同値である。
有理連結多様体への応用（Theorem 1.4）
$M$ が有理連結射影多様体で $-K_M$ がnefなら、任意の $\omega$ と（準）正定値 $P$ に対し $T^{1,0}M$ 上で
$$ \Lambda_\omega(\sqrt{-1}R^h)=P $$
を満たす一意な計量が存在する。特にFano多様体が含まれる。
証明の見取り図
先行論文の放物型比較原理から一様な下界を得る。上界が破れると仮定し、計量行列を正規化してUhlenbeck--Yau法による弱極限を取り、$\deg(\mathcal F)\geq\deg(E)$ を満たす真の整合部分層を作る。これは仮定に反するため $C^0$ 上界が成立し、既存の高階評価と合わせて収束する。
原論文との対応
- Abstractページ: arXiv:2606.21073v1
- Introduction: Section 1, pp. 1–6
- Introduction中で言及された主要定理番号: Theorems 1.1, 1.3, 1.4; Corollaries 1.2, 1.5–1.7
- 論文構成の説明: Contents and proof outline, pp. 1–3
- 確認したarXivバージョン: v1
- 確認したライセンス: CC0 1.0 Universal
- source_scope: Abstract and Introduction