CATALOGUE 197
非sofic群と群環の反例
Nonsofic groups and group-ring counterexamples
三つのscalar直接有限性反例は、係数体・群のtorsion・構成法が異なる。そのうち標数2の有限体上の反例を用いて、第四の問題である整数群環の行列式下界へ反例を移す。scalar元、群環上の行列、非sofic性、cellular automatonの帰結を区別して接続を示す。
公式順の記事一覧
主結果の範囲を短くまとめています。正確な仮定と定式化は併記した原典の結果を参照してください。
ページ数は参考文献を含みます。狭い画面では表を横にスクロールできます。
| # | 論文・概説 | 主に何を主張するか | 議論の役割・概説 |
|---|---|---|---|
| 01 | A Torsion-Free Group Algebra That Is Not Directly Finite →図中の略称: Torsion-free direct finitenessOctober 4, 2026 · 31 ページ原論文（GitHub） ↗ | 有限表示torsion-free群Gとa,b,c∈F₂[G]でab=1、ac=0、c≠0（従ってba≠1）。有限2次元分類複体を持つ。 Theorem 1.1 · p. 1 ↗ | 同期歩行のparityをcone複体・配置排除と結び、非零係数とtorsion-free性を別々に保証する独立構成。 証明概説を読む → |
| 02 | A Counterexample to Kaplansky's Direct-Finiteness Conjecture in Characteristic Two →図中の略称: Direct finiteness in characteristic twoSeptember 23, 2026 · 28 ページ原論文（GitHub） ↗ | ある有限標数2体Kと、奇素数位数のtorsionを持つ有限表示群Gでscalar対ab=1≠baを構成。全配置上の単射非全射CAも得る。 Theorem 1.1 · p. 1; Corollary 7.3 · p. 26 ↗ | 穴あき有限幾何のpairing→埋込み→character packing→scalar化。行列式論文に使われる標数2入力を供給。 証明概説を読む → |
| 03 | A Counterexample to the Group-Ring Determinant Conjecture →図中の略称: Group-ring determinantSeptember 23, 2026 · 9 ページ原論文（GitHub） ↗ | 有限生成G_D上の整数群環行列AがQ[G_D]上可逆で、Fuglede–Kadison行列式は0と1の間。対数積分は有限かつ負。 Theorem 1.1 · p. 2 ↗ | 第2論文のscalar欠損→二進因子分解と実trace差→mod 2^k持上げ→整数行列の行列式。 証明概説を読む → |
| 04 | A Counterexample to Kaplansky's Direct-Finiteness Conjecture in Odd Characteristic →図中の略称: Direct finiteness in odd characteristicSeptember 26, 2026 · 25 ページ原論文（GitHub） ↗ | 一つの指定された奇素数p、位数p⁴の体K、torsionを含む有限生成群Gにscalar対ab=1≠baを構成。全配置上の単射非全射CAを得る。 Theorem 1.1 · p. 1; Proposition 8.1 · p. 23 ↗ | 高次数modular表現の冪等元→共通central sector→向き付き三角圧縮→有限群因子でscalar化。標数2論文への依存なし。 証明概説を読む → |
構成と結果のつながり
図の実線は、原稿が実際に使う論文間の直接入力を表す。破線は完成したscalar対からのcellular automatonの帰結であり、別の群環反例の構成入力ではない。上段のtorsion-free構成は独立している。
図の引用案内
- OpenAI26tf — OpenAI, A Torsion-Free Group Algebra That Is Not Directly Finite、October 4, 2026。素体$\mathbb F_2$・torsion-free群の独立構成。[OpenAI26tf, Theorem 1.1, p. 1]
- OpenAI26two — OpenAI, A Counterexample to Kaplansky's Direct-Finiteness Conjecture in Characteristic Two、September 23, 2026。行列式論文へ渡すscalar対と、そのCA帰結。[OpenAI26two, Theorem 1.1, p. 1]
- OpenAI26det — OpenAI, A Counterexample to the Group-Ring Determinant Conjecture、September 23, 2026。二進欠損から整数群環行列への変換。[OpenAI26det, Theorem 1.1, p. 2]
- OpenAI26odd — OpenAI, A Counterexample to Kaplansky's Direct-Finiteness Conjecture in Odd Characteristic、September 26, 2026。一つの指定奇素数に対する独立構成とCA帰結。[OpenAI26odd, Theorem 1.1, p. 1]
全て同一の公式commitに固定した版を参照する。各引用は原典の結果番号と誌面/PDF共通ページを示す。
Direct finiteness in characteristic twoのscalar対が、Group-ring determinantで二進行列対へ制限される。そこから拡大群$G_D=(\bigoplus_{H_2}C_3)\rtimes H_2$上の射影を作り、整数行列の行列式を$0$と$1$の間へ落とす。入力群と出力群は同じではなく、出力群には位数3のtorsionがある。元の体が$\mathbb F_2$そのものとは限らないため、係数制限の次元$d$を保つ必要がある。
Direct finiteness in odd characteristicはこの二進入力を置き換える論文ではない。指定$p$で構成したscalar対を、標数2原稿と同じ右近傍規約の作用$T_c$へ移すと、両方で$T_aT_b=\operatorname{id}$と$\operatorname{im}T_b=\operatorname{Fix}(T_{ba})$が得られる。非全射性は逆積欠損の非零係数で検出され、全配置空間上の主張である。
| 種別 | 供給結果 → 使用箇所 | 何を渡すか・適用条件 |
|---|---|---|
| 直接入力 | 標数2 Theorem 1.1 → 行列式 Theorem 1.2、§5 | 有限標数2体と有限生成群上のscalar対。入力の有限表示性はここでは有限生成へ弱めて使う。 |
| 論文内の帰結 | 標数2 Theorem 1.1 → Proposition 7.2、Corollary 7.3 | 有限体・有限台・$ab=1\ne ba$から単射非全射CAと像の固定点記述。 |
| 論文内の帰結 | 奇標数 Theorem 1.1 → Proposition 8.1 | 同じ代数的条件を、指定された位数$p^4$の体のままで使う。 |
[OpenAI26two, Theorem 1.1, p. 1]
[OpenAI26det, Theorem 1.2; §5, pp. 2, 8]
[OpenAI26two, Corollary 7.3, p. 26]
[OpenAI26odd, Proposition 8.1, p. 23]
非sofic性は逆方向の構成原理ではない。外部結果 ES04（Gábor Elek・Endre Szabó, Sofic groups and direct finiteness, arXiv:math/0305440v2, 19 April 2004）のsofic群環のstable finitenessにより、三つのscalar構成それぞれの群はnonsoficとなる。行列式の出力群については ES05（同著者, Hyperlinearity, essentially free actions and L²-invariants. The sofic property, arXiv:math/0408400v2, 7 October 2014）の下界を$A^*A$へ適用して矛盾を得る。これらの外部定理は、ここで完成した反例から得る帰結を説明する。
証明を読む入口
- 素体とtorsion-free性を同時に追う： Torsion-free direct finitenessのparity、有限配置の排除、cone surgeryを読む。$ab=1$と$ac=0$の計算、$c\ne0$、分類複体の性質は別の接続で保証される。
- 行列からscalarへの移行を追う： 標数2の記事ではcharacter packingと埋込み先での欠損検出、奇標数の記事では共通sector、三角圧縮、有限Heisenberg行列単位を見る。両者の係数仮定と局所機構は異なる。
- 正のtraceとmod 2の違いを追う： 行列式の記事では射影の実traceと二進因子分解の列数、続く節では整数化と有理可逆性を分けて読む。
原典と確認範囲
公式の分野は Algebra、番号は 197、overviewの名称は Nonsofic groups and group-ring counterexamples（PDF p. 21）である。CONTENTS.mdの見出しは A torsion-free group algebra that is not directly finite と異なる。記事一覧はCONTENTSの4篇の順序を保持し、内部paper IDとカタログ番号を区別する。参照commitは1581d4cbdd69a0faf34b2089614fe2a814316a6a、overview表紙の日付はOctober 6, 2026。
OpenAI Research Catalog · Catalogue 197 / Algebra · p. 21
主要結果、証明の核心、記録した入力結果と適用箇所を公式原典と照合した。行列式の標数2入力とCAの像の計算は供給側・利用側を照合している。未記録の引用関係を「依存なし」とは扱わない。各記事に確率評価・位相的場合分け等の独立再計算を行っていない範囲を記す。標数2原稿のCorollary 7.4と外部type-$F_\infty$埋込みは、この案内の確認済み結果には含めない。有限手順の実行、全外部証明の再帰的検証、専門家査読・形式検証は未実施である。