A Counterexample to Kaplansky's Direct-Finiteness Conjecture in Characteristic Two

1. 幾何・代数・サイズを別々に供給する

$Q=\{a_0,\ldots,a_{q-1}\}$ は位数 $q=2^h$ の体とし、$S_d=\{(a_{k_1},\ldots,a_{k_n}):k_i\ge0,\ \sum_i k_i\le d\}$ をindex simplexとする。$A=Q^n$、$O\subset S_{(q-2)/2}$、$m=|O|$ とする。各穴 $o$ の指示値を補間する多項式 $f_o$ を選び、$x_v=(f_o(v))_{o\in O}$ とする。$x_vx_v^T$ の各成分は次数 $\le q-2$ の多項式なので完全直線上でも $A$ 全体でも和が零になる。穴での値が標準基底だから、$V=A\setminus O$ に制限すると $$\sum_{v\in f}x_vx_v^T=0,\qquad\sum_{v\in V}x_vx_v^T=-I_m$$ が得られる。穴の個数の上下限は $0<m<t=|V|\le m\ell^2$ を保証する。incidence girthは局所部分群を埋め込むため、上限はcharacter packingのため、狭義不等式 $m<t$ は逆積の欠損検出のために使う。

Proposition 2.3 · pp. 5–6 Theorem 3.1 · p. 6

2. 存在から停止する処方へ

$h=2,3,\ldots$ と順に、$\ell\equiv-1\pmod{q^{100}}$ の最小素数、所定次数の最初の既約多項式による有限体 $K=\mathbb F_{2^{h(\ell-1)}}$、その部分体 $Q$ と最初の原始 $\ell$ 乗根を選ぶ。各 $h$ で有限個の $(O,\mathcal F)$ を列挙し、個数・完全直線・正則性・girthを判定する。Theorem 5.1は十分大きいすべての $h$ と任意の体の列挙に対する成功を保証するため、外側の探索も止まる。

その後は有限体線形代数、有限の局所乗法表、指定されたconjugation relations、有限群のmatrix unitsによって群と二つの有限式が定まる。異なる表示語が同じ群元かどうかを判定して有限式を正規化する必要はない。この処方は実行可能性を理論的に主張するもので、実用的な計算量や実行済みの出力を与えるものではない。

Section 6; Equation (6.2) · pp. 22–24 [Xyl11, Theorem 1.1, 誌面 p. 66 / PDF p. 2]

1. 局所群の埋込みが平均と矩形恒等式を正当化する

各点に $K_v^0=(\mathbb F_\ell^2,+)$、各memberに $L_f^0=(\mathbb F_\ell,+)$ を置き、incidentな $L_f^0$ を $K_v^0$ の異なる1次元部分空間へ貼り合わせて $N$ を作る。Lemma 3.2は局所群が潰れないことを、例外頂点が一つある平面weighted graphへ帰着して証明する。最小化後はblack degree $\ge3$、ordinary white degree $\ge2$、高々一面を除くface length $\ge12$ であり、Eulerの式と矛盾する。これは単にpresentationを与えるだけでは得られない埋込み保証である。

埋め込まれた $K_v$ の平均 $P_v=\kappa^{-1}\sum_{u\in K_v}u$ と $P=\operatorname{diag}(P_v)$ を使い、$U_{-,v}=-\kappa x_vP_v$, $T_{v,-}=P_vx_v^T$ を定める。$\ell$ が奇数なので分母は可逆である。incidentな1次元部分群による $K_v\setminus\{1\}$ の分割と二つのpairingは $$UP=U,\qquad PT=T,\qquad UT=I_m$$ を与える。ただし $U,T$ はまだ矩形であり、直接有限性の反例ではない。

Lemma 3.2 · pp. 7–9 Section 4.1; Equation (4.4) · p. 10

2. Character packing後も部分群環へ戻して欠損を検出する

$H=N\times\langle z\rangle$、$|z|=\ell$ とし、局所群の座標同型とcharacter twistを実現するstable lettersを加えて $L$ を作る。原稿は $H$ の正則置換作用を延長して $H\hookrightarrow L$ を直接証明する。中央idempotent $e=\ell^{-1}\sum_r\zeta^{-r}z^r$ と直交character idempotentsにより、$t\le m\kappa$ 個の座標を $m$ 個のslotへ収納し、$J_0C=eP$ を得る。そこで $$a_{\mathrm{mat}}=UJ_0+(1-e)I_m,\qquad b_{\mathrm{mat}}=CT+(1-e)I_m$$ は $a_{\mathrm{mat}}b_{\mathrm{mat}}=I_m$ を満たす。

逆積欠損 $\Delta=b_{\mathrm{mat}}a_{\mathrm{mat}}-I_m$ は $$J_0\Delta C=e(TU-P)\in\operatorname{Mat}_t(K[H])$$ で検出する。$\epsilon:K[H]\to K$, $nz^r\mapsto\zeta^r$ を適用すると、$X=(x_v)$ に対して $X^TX-I_t$ となる。$m<t$ により $\ker X\ne0$ だからこの行列は非零である。$K[H]\hookrightarrow K[L]$ が非零性を保つ。特殊化 $\epsilon$ を $K[L]$ 全体へ延長できるとは主張していない。

Sections 4.2–4.3; Equations (4.5)–(4.13) · pp. 10–12 Section 4.4; Equations (4.14)–(4.17) · p. 12

3. 有限群因子のmatrix unitsで単位元を補完する

$F=(\mathbb Z/\ell)^m\rtimes S_m$ のcharacter idempotentsから $p_{ij}$ を作り、$p_{ij}p_{kr}=\delta_{jk}p_{ir}$ と線形独立性を確認する。$G=L\times F$ に対して $$\Phi:\operatorname{Mat}_m(K[L])\hookrightarrow K[G],\qquad \Phi(Z)=\sum_{i,j}Z_{ij}p_{ij}$$ は単射な環準同型だが、$\Phi(I_m)=f_{\mathrm{blk}}$ はcornerの単位元である。そこで $$a_{\mathrm{out}}=1-f_{\mathrm{blk}}+\Phi(a_{\mathrm{mat}}),\qquad b_{\mathrm{out}}=1-f_{\mathrm{blk}}+\Phi(b_{\mathrm{mat}})$$ とする。補元はimageを両側でannihilateするため、前向き積は $1$、逆積欠損は $\Phi(\Delta)\ne0$ となる。$|S_m|$ は逆数にしておらず、逆数にする $|(\mathbb Z/\ell)^m|$ だけが奇数である。

局所零和の長さ高々3のrelatorsが $N$ の有限表示を与え、有限個のstable letters・relationsと有限群 $F$ によって $G$ も有限表示となる。埋込み鎖 $K_v\le N\le H\le L\le G$ は位数 $\ell$ の元を保持する。有限supportが与える有限生成性だけから有限表示性を結論しているわけではない。

Section 4.5; Equations (4.18)–(4.25) · pp. 13–14 Section 4.6 · p. 14

1. 一様なパラメータと両立する穴を選ぶ

Xylourisの定理を互いに素な剰余 $q^{100}-1$ と法 $q^{100}$ に適用し、$\ell\le Cq^{100L}$ を得る。ここで $C>0,L$ は絶対定数で、Xylourisの記述では $L=5.18$ とできる。このため $s$、従って $n$ は $h$ によらない上限をもち、$h\to\infty$ の見積りを一様に使える。$D$ を $q$ 個ずつのdirection bundleへ分け、任意の高々10個がdirect sumになる $W_r,E_j$ をVandermonde配置で選ぶ。

穴は小確率で選んで衝突を削除する。各 $W_r$ のtranslateに穴が高々一つ、各関連cosetで穴密度が有界、replacement linesだけで作る例外rectangleの4つの証人が同時に穴にならない、という三つの条件を得る。これらは後で直線を交換するときの整合性とevent countにそれぞれ必要になる。

[Xyl11, Theorem 1.1, 誌面 p. 66 / PDF p. 2] Lemmas 5.2–5.4 · pp. 15–18

2. Slabの短polygonを排除し、完全直線を交換する

各 $U_j=d_j\oplus E_j$ のcosetで独立な2次元部分空間 $P_{j,C}\subset E_j$ を選び、3次元slabに分ける。三角形・四角形・五角形のcandidateを、direction spacesのdirectnessで少数の型へ絞る。各bad eventは高々4変数に依存し、1変数あたりの確率の総和は $O(q^{-7})$。原稿内で証明するweighted local lemmaにより、slab内の穴の衝突と短polygonを同時に排除する。

各slabを完全直線でpartitionしてから、穴 $o$ とbundle $r$ ごとに $o$ を通る $q$ 本のfanを除き、$o+W_r$ 内の $q-1$ 本の平行線へ置き換える。穴以外の点は一つのincidenceを失うと同時に一つ得るか、どちらも変化しない。穴はすべてのincidenceを失う。従って $V$ 上の次数は正確に $D$ のままである。短いincidence cycleは排除済みのgeneric polygonか、穴の選択で禁止したreplacement rectangleに帰着する。

Lemmas 5.5–5.7 · pp. 19–21 Lemmas 5.8–5.9; proof of Theorem 5.1 · pp. 21–22

1. 左逆写像は全configurationに作用する

係数のsupportは有限なので、$x\in K^G$ 自身のsupportが無限でも積の二重和は有限であり、$T_c(T_dx)(g)=\sum_{u,v}c_ud_vx(guv)=T_{cd}x(g)$。積の順序は $dc$ ではない。$a=a_{\mathrm{out}}$, $b=b_{\mathrm{out}}$ とすると $T_aT_b=T_{ab}=\mathrm{id}$ で、$T_b$ は単射となる。$K$ の有限性が有限alphabet、$b$ の有限supportが有限memoryを供給する。

Lemma 7.1 · p. 25

2. 逆積欠損の係数が欠ける点指示関数を選ぶ

$y=T_bx$ なら $T_{ba}y=y$。逆にこの等式を満たせば $y=T_b(T_ay)$ なので $$\operatorname{im}T_b=\{y:T_{ba}y=y\}.$$ $(ba-1)_h\ne0$ となる係数をとると、点指示関数 $\delta_h$ は $$(T_{ba}\delta_h-\delta_h)(1_G)=(ba-1)_h\ne0$$ を満たし、像に入らない。この像は有限local equations $\sum_u(ba-1)_uy(gu)=0$ でも記述できる。従って非全射性と非surjunctivityが同時に得られる。特定の非零係数を探索で実際に計算したという主張は含まない。

Proposition 7.2 · p. 26 Corollary 7.3 · p. 26